1890. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} > g(x)$ je ekvivalentna uniji dva sistema nejednačina:

\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}

Prvi sistem nejednačina (slučaj kada je desna strana negativna):

\begin{cases} 1-x < 0 \\ -x^2+x+6 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu prvog sistema:

1-x < 0 \implies x > 1 \implies x \in (1, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu prvog sistema. Prvo tražimo korene kvadratne jednačine $-x^2+x+6 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1 \pm 5}{-2}

Koreni su $x_1 = -2$ i $x_2 = 3 .$ Pošto je koeficijent uz $x^2$ negativan, parabola je okrenuta nadole, pa je izraz nenegativan između korena:

-x^2+x+6 \ge 0 \implies x \in [-2, 3]

Rešenje prvog sistema je presek dobijenih intervala:

x \in (1, +\infty) \cap [-2, 3] \implies x \in (1, 3]

Drugi sistem nejednačina (slučaj kada je desna strana nenegativna):

\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ -x^2+x+6 > (1-x)^2 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu drugog sistema:

1-x \ge 0 \implies x \le 1 \implies x \in (-\infty, 1]

Rešavamo drugu nejednačinu drugog sistema. Kvadriramo desnu stranu:

-x^2+x+6 > 1 - 2x + x^2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i sređujemo izraz:

2x^2 - 3x - 5 < 0

Tražimo korene kvadratne jednačine $2x^2 - 3x - 5 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}

Koreni su $x_1 = -1$ i $x_2 = \frac{5}{2} .$ Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo ispitali znak:

2x^2 - 3x - 5 = (x+1)(2x-5) < 0

Formiramo tabelu znakova za nejednačinu $(x+1)(2x-5) < 0 .$

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, \frac{5}{2})

x \in (\frac{5}{2}, +\infty)

x+1

-

+

+

2x-5

-

-

+

(x+1)(2x-5)

+

-

+

Na osnovu tabele, izraz je negativan na intervalu:

x \in \left(-1, \frac{5}{2}\right)

Rešenje drugog sistema je presek intervala:

x \in (-\infty, 1] \cap \left(-1, \frac{5}{2}\right) \implies x \in (-1, 1]

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog sistema:

x \in (1, 3] \cup (-1, 1]

Spajanjem ova dva intervala dobijamo konačan skup rešenja:

x \in (-1, 3]

371.a