Iracionalna nejednačina: koren iz x kvadrat − 9

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} > g(x)$ je ekvivalentna uniji dva sistema nejednačina. Prvi sistem obuhvata slučaj kada je desna strana negativna, a drugi kada je nenegativna.

\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}

Primenjujemo ovo pravilo na našu nejednačinu gde je $f(x) = x^2-9$ i $g(x) = x-9 .$ Postavljamo prvi sistem (Slučaj 1):

\begin{cases} x-9 < 0 \\ x^2-9 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu prvog sistema:

x-9 < 0 \implies x < 9

Rešavamo drugu nejednačinu prvog sistema (uslov definisanosti korena) rastavljanjem na činioce:

x^2-9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0

x \in (-\infty, -3)

x \in (-3, 3)

x \in (3, +\infty)

x-3

+

+

+

x+3

+

+

+

(x-3)(x+3)

+

+

+

Na osnovu analize znaka, rešenje druge nejednačine je:

x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)

Presek rešenja za prvi sistem (Slučaj 1), odnosno presek uslova $x < 9$ i $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) ,$ je:

x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9)

Sada postavljamo drugi sistem (Slučaj 2), gde je desna strana nenegativna pa smemo da kvadriramo nejednačinu:

\begin{cases} x-9 \ge 0 \\ x^2-9 > (x-9)^2 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu drugog sistema:

x-9 \ge 0 \implies x \ge 9

Rešavamo drugu nejednačinu drugog sistema kvadriranjem binoma na desnoj strani:

x^2-9 > x^2-18x+81

Sređujemo nejednačinu tako što prebacimo nepoznate na levu, a poznate vrednosti na desnu stranu:

18x > 90 \implies x > 5

Presek rešenja za drugi sistem (Slučaj 2), odnosno presek uslova $x \ge 9$ i $x > 5 ,$ je:

x \in [9, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog sistema:

x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9) \cup [9, +\infty)

Zapisujemo konačan skup rešenja u najjednostavnijem obliku spajanjem susednih intervala:

x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)

Započni učenje

Privatni časovi

371.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci