1894. Iracionalne jednačine i nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} > g(x)$ je ekvivalentna uniji dva sistema nejednačina:

\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}

Primenjujemo ovo pravilo na našu nejednačinu. Prvi sistem (Slučaj 1) glasi:

\begin{cases} x-5 < 0 \\ x^2-5x-14 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu prvog sistema:

x < 5

Za drugu nejednačinu $x^2-5x-14 \ge 0 ,$ prvo nalazimo nule odgovarajuće kvadratne jednačine $x^2-5x-14 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}

Nule su $x_1 = 7$ i $x_2 = -2 .$ Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisani oblik $(x+2)(x-7) \ge 0$ i formiramo tabelu znakova:

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, 7)

x \in (7, +\infty)

x+2

+

+

+

x-7

+

+

+

(x+2)(x-7)

+

+

+

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine $x^2-5x-14 \ge 0$ je:

x \in (-\infty, -2] \cup [7, +\infty)

Sada nalazimo presek rešenja za Slučaj 1, odnosno presek uslova $x < 5$ i $x \in (-\infty, -2] \cup [7, +\infty) :$

x \in (-\infty, -2]

Postavljamo drugi sistem (Slučaj 2):

\begin{cases} x-5 \ge 0 \\ x^2-5x-14 > (x-5)^2 \end{cases}

Prva nejednačina drugog sistema daje uslov:

x \ge 5

Rešavamo drugu nejednačinu drugog sistema tako što kvadriramo binom na desnoj strani:

x^2-5x-14 > x^2-10x+25

Sređujemo nejednačinu prebacivanjem svih članova sa nepoznatom na levu stranu, a slobodnih članova na desnu:

-5x + 10x > 25 + 14

Dobijamo linearnu nejednačinu:

5x > 39 \implies x > \frac{39}{5}

Nalazimo presek rešenja za Slučaj 2 ( $x \ge 5$ i $x > \frac{39}{5}$ ). Pošto je $\frac{39}{5} = 7.8 ,$ presek je:

x \in \left(\frac{39}{5}, +\infty\right)

Konačno rešenje zadatka je unija rešenja Slučaja 1 i Slučaja 2:

x \in (-\infty, -2] \cup \left(\frac{39}{5}, +\infty\right)

371.g