Jednačina sa četvrtim korenima: 80 + x i 2 - x

Određujemo domen jednačine. Izrazi pod parnim korenom moraju biti nenegativni.

\begin{cases} 80+x \ge 0 \implies x \ge -80 \\ 2-x \ge 0 \implies x \le 2 \end{cases} \implies x \in [-80, 2]

Uvodimo smene $u = \sqrt[4]{80+x}$ i $v = \sqrt[4]{2-x} ,$ pri čemu mora važiti $u \ge 0$ i $v \ge 0 .$

Zbir ovih izraza je dat u početnoj jednačini, a zbir njihovih četvrtih stepena možemo lako da odredimo.

\begin{aligned} u + v &= 4 \\ u^4 + v^4 &= (80+x) + (2-x) = 82 \end{aligned}

Dobijamo sistem jednačina:

\begin{cases} u + v = 4 \\ u^4 + v^4 = 82 \end{cases}

Izraz $u^4 + v^4$ možemo transformisati koristeći osnovne simetrične polinome $S = u+v$ i $P = uv .$

u^2 + v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P

Dalje transformišemo četvrti stepen:

u^4 + v^4 = (u^2+v^2)^2 - 2u^2v^2 = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2

Zamenjujemo $S = 4$ u dobijeni izraz:

u^4 + v^4 = (4^2 - 2P)^2 - 2P^2 = (16 - 2P)^2 - 2P^2

Kvadriramo binom i sređujemo izraz:

u^4 + v^4 = 256 - 64P + 4P^2 - 2P^2 = 2P^2 - 64P + 256

Izjednačavamo dobijeni izraz sa 82:

2P^2 - 64P + 256 = 82

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $P :$

\begin{aligned} 2P^2 - 64P + 174 &= 0 \\ P^2 - 32P + 87 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

P_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 87}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 348}}{2} = \frac{32 \pm 26}{2}

Dobijamo dva rešenja za $P :$

P_1 = 29, \quad P_2 = 3

Razmatramo prvi slučaj kada je $P = 29 .$ Tada je $u+v = 4$ i $uv = 29 .$ Brojevi $u$ i $v$ su rešenja kvadratne jednačine po $t :$

t^2 - 4t + 29 = 0

Diskriminanta ove jednačine je manja od nule, pa pošto $u$ i $v$ moraju biti realni brojevi, ovaj slučaj nema rešenja.

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 16 - 116 = -100 < 0

Razmatramo drugi slučaj kada je $P = 3 .$ Tada je $u+v = 4$ i $uv = 3 .$ Brojevi $u$ i $v$ su rešenja kvadratne jednačine:

t^2 - 4t + 3 = 0

Rešavamo ovu jednačinu i dobijamo:

t_1 = 1, \quad t_2 = 3

Vraćamo se na smene. Imamo dve mogućnosti za par $(u, v) :$ $(1, 3)$ ili $(3, 1) .$

Prva mogućnost: $u = 1$ i $v = 3 .$

\sqrt[4]{80+x} = 1 \implies 80+x = 1 \implies x = -79

Proveravamo da li $x = -79$ pripada domenu i da li zadovoljava drugu smenu. Rešenje je validno.

\begin{aligned} x &= -79 \in [-80, 2] \\ v &= \sqrt[4]{2 - (-79)} = \sqrt[4]{81} = 3 \end{aligned}

Druga mogućnost: $u = 3$ i $v = 1 .$

\sqrt[4]{80+x} = 3 \implies 80+x = 81 \implies x = 1

Proveravamo da li $x = 1$ pripada domenu i da li zadovoljava drugu smenu. Rešenje je validno.

\begin{aligned} x &= 1 \in [-80, 2] \\ v &= \sqrt[4]{2 - 1} = \sqrt[4]{1} = 1 \end{aligned}

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = -79, \quad x_2 = 1

367.v