Jednačina sa četvrtim korenima: x - 2 i 4 - x

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Izrazi pod parnim korenima moraju biti nenegativni:

\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema nejednačina dobijamo domen:

x \in [2, 4]

Uvodimo smene $u = \sqrt[4]{x-2}$ i $v = \sqrt[4]{4-x} .$ Pošto su u pitanju parni koreni, važi $u \ge 0$ i $v \ge 0 .$

Na osnovu početne jednačine i zbira četvrtih stepena novih promenljivih, formiramo sistem jednačina:

\begin{cases} u + v = 2 \\ u^4 + v^4 = (x-2) + (4-x) = 2 \end{cases}

Da bismo lakše rešili sistem, uvodimo nove promenljive $t$ i $s$ kao aritmetičku sredinu i polurazliku promenljivih $u$ i $v :$

\begin{cases} u = t + s \\ v = t - s \end{cases}

Zamenom u prvu jednačinu sistema ( $u + v = 2$ ) računamo vrednost promenljive $t :$

(t + s) + (t - s) = 2 \implies 2t = 2 \implies t = 1

Sada možemo izraziti $u$ i $v$ samo preko promenljive $s :$

\begin{cases} u = 1 + s \\ v = 1 - s \end{cases}

Zamenjujemo ove izraze u drugu jednačinu sistema ( $u^4 + v^4 = 2$ ):

(1 + s)^4 + (1 - s)^4 = 2

Razvijamo binome na četvrti stepen koristeći formulu $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4 :$

(1 + 4s + 6s^2 + 4s^3 + s^4) + (1 - 4s + 6s^2 - 4s^3 + s^4) = 2

Sabiranjem ova dva izraza, članovi sa neparnim stepenima se potiru:

2 + 12s^2 + 2s^4 = 2

Oduzimamo 2 sa obe strane i delimo jednačinu sa 2:

s^4 + 6s^2 = 0

Faktorišemo dobijenu jednačinu izdvajanjem $s^2$ ispred zagrade:

s^2(s^2 + 6) = 0

Pošto je $s^2 \ge 0$ za svaki realan broj $s ,$ izraz $s^2 + 6$ je uvek striktno pozitivan. Zato jednačina ima samo jedno realno rešenje:

s = 0

Vraćamo se na izraze za $u$ i $v :$

\begin{cases} u = 1 + 0 = 1 \\ v = 1 - 0 = 1 \end{cases}

Koristimo smenu $u = \sqrt[4]{x-2}$ da bismo našli $x :$

\sqrt[4]{x-2} = 1

Stepenujemo obe strane na četvrti stepen i računamo $x :$

x - 2 = 1 \implies x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto $3 \in [2, 4] ,$ rešenje je prihvaćeno.

x = 3

367.a