1886. Iracionalne jednačine i nejednačine

Da bismo rešili jednačinu, stepenovaćemo obe strane na treći stepen. Koristićemo formulu za kub binoma u obliku $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) .$

(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3})^3 = (\sqrt[3]{12(x-1)})^3

Primenjujemo formulu na levu stranu, a na desnoj strani se oslobađamo korena.

x + 2x - 3 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2x-3}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3}) = 12(x-1)

Prema početnoj jednačini, zbir kubnih korena u zagradi jednak je desnoj strani jednačine. Zamenićemo taj zbir sa $\sqrt[3]{12(x-1)} .$

3x - 3 + 3\sqrt[3]{x(2x-3)}\sqrt[3]{12(x-1)} = 12x - 12

Sređujemo jednačinu tako što grupišemo sve članove van korena na desnu stranu.

3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 12x - 12 - 3x + 3

Pojednostavljujemo desnu stranu.

3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 9x - 9

Delimo celu jednačinu sa $3$ kako bismo je pojednostavili.

\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 3x - 3

Izvlačimo $3$ ispred zagrade na desnoj strani i ponovo stepenujemo obe strane na treći stepen.

12x(2x-3)(x-1) = 27(x-1)^3

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički činilac $3(x-1) .$

3(x-1)[4x(2x-3) - 9(x-1)^2] = 0

Sređujemo izraz unutar srednjih zagrada.

3(x-1)[8x^2 - 12x - 9(x^2 - 2x + 1)] = 0

Množimo i grupišemo slične članove u zagradi.

3(x-1)(8x^2 - 12x - 9x^2 + 18x - 9) = 0

Daljim sređivanjem dobijamo kvadratni trinom.

3(x-1)(-x^2 + 6x - 9) = 0

Izvlačimo minus ispred zagrade i prepoznajemo kvadrat binoma.

-3(x-1)(x-3)^2 = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Izjednačavamo svaki činilac sa nulom kako bismo našli rešenja.

x - 1 = 0 \quad \lor \quad x - 3 = 0

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = 1, \quad x_2 = 3

1886.Iracionalne jednačine i nejednačine