Zbir trećih korena: ∛(2 + √5) + ∛(2 − √5)

Označimo traženi izraz sa $x$ i stepenujemo celu jednačinu na treći stepen koristeći formulu za zbir kubova: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) .$

x^3 = \left( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \right)^3

Primenom formule dobijamo sumu kubova i trostruki proizvod članova:

x^3 = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) + 3 \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})

Sredimo prvi deo izraza i primetimo da je poslednja zagrada zapravo naše početno $x :$

x^3 = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot x

Računamo vrednost pod korenom koristeći razliku kvadrata:

\sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt[3]{4 - 5} = \sqrt[3]{-1} = -1

Zamenom izračunate vrednosti dobijamo kubnu jednačinu po $x :$

x^3 = 4 + 3 \cdot (-1) \cdot x \implies x^3 + 3x - 4 = 0

Primetimo da je $x = 1$ jedno rešenje jednačine jer je $1^3 + 3(1) - 4 = 0 .$ Deljenjem polinoma ili grupisanjem članova proveravamo ostala rešenja:

(x-1)(x^2 + x + 4) = 0

Kvadratna jednačina $x^2 + x + 4 = 0$ nema realna rešenja jer je diskriminanta negativna. Pošto je naš početni izraz realan broj, jedino moguće rešenje je:

x = 1

Započni učenje

Online časovi

44.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci