Razlika trećih korena: ∛(5√2 + 7) − ∛(5√2 − 7)

Uvodimo smenu tako što ceo izraz izjednačimo sa promenljivom $x .$

x = \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}

Koristimo identitet za razliku kubova u obliku $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) .$ Kubiramo obe strane jednačine.

x^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7})^3 - (\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^3 - 3 \sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} \cdot x

Sređujemo članove unutar kubova i računamo proizvod pod trećim korenom koristeći razliku kvadrata.

x^3 = (5\sqrt{2}+7) - (5\sqrt{2}-7) - 3 \sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} \cdot x

Računamo vrednost potkorene veličine u proizvodu.

(5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 50 - 49 = 1

Zamenjujemo dobijene vrednosti u jednačinu i dobijamo kubnu jednačinu po $x .$

x^3 = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 - 3\sqrt[3]{1} \cdot x \implies x^3 = 14 - 3x

Svodimo jednačinu na standardni oblik.

x^3 + 3x - 14 = 0

Proveravamo celobrojna rešenja među deliocima broja 14. Uočavamo da je $x = 2$ rešenje jer je $2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0 .$ Deljenjem polinoma ili grupisanjem proveravamo ostala rešenja.

x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + 7x - 14 = 0 \implies (x-2)(x^2 + 2x + 7) = 0

Kvadratna jednačina $x^2 + 2x + 7 = 0$ nema realnih rešenja jer je diskriminanta negativna.

D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0

Jedino realno rešenje polaznog izraza je:

x = 2

Započni učenje

Online časovi

44.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci