Parametar k za jednačine sa k i 1 kao članovima

Neka je $x_0$ zajedničko rešenje obe jednačine. Tada ono mora zadovoljavati i prvu i drugu jednačinu, pa formiramo sistem:

\begin{cases} x_0^2 + kx_0 + 1 = 0 \\ x_0^2 + x_0 + k = 0 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve eliminišemo kvadratni član $x_0^2 :$

(x_0^2 - x_0^2) + (kx_0 - x_0) + (1 - k) = 0

Sređivanjem dobijenog izraza i grupisanjem članova uz $x_0$ dobijamo:

(k - 1)x_0 + (1 - k) = 0

Zapisujemo izraz $1 - k$ kao $-(k - 1)$ i izvlačimo zajednički faktor $(k - 1) :$

(k - 1)(x_0 - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Imamo dva moguća slučaja:

k - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x_0 - 1 = 0

Analiziramo prvi slučaj kada je $k - 1 = 0 ,$ odnosno $k = 1 .$ Zamenom ove vrednosti, obe početne jednačine postaju identične:

x^2 + x + 1 = 0

Pošto su jednačine potpuno iste, one imaju ista rešenja. U ovom slučaju diskriminanta je $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 ,$ pa jednačine imaju zajednička kompleksna rešenja. Uslov zadatka je ispunjen.

Analiziramo drugi slučaj kada je $x_0 - 1 = 0 ,$ odnosno $x_0 = 1 .$ Zamenom ovog zajedničkog rešenja u prvu jednačinu dobijamo:

1^2 + k \cdot 1 + 1 = 0

Rešavanjem ove linearne jednačine računamo vrednost parametra $k :$

k + 2 = 0 \implies k = -2

Za $k = -2$ prva jednačina postaje $x^2 - 2x + 1 = 0$ sa rešenjem $x = 1 ,$ a druga $x^2 + x - 2 = 0$ sa rešenjima $x_1 = 1$ i $x_2 = -2 .$ Obe jednačine imaju zajedničko rešenje $x = 1 ,$ pa je i ova vrednost parametra validna.

Konačno, objedinjavanjem oba slučaja, dobijamo tražene vrednosti parametra $k :$

k \in \{-2, 1\}

Započni učenje

Privatni časovi

196.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci