1514. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka su traženi brojevi $x$ i $y .$ Na osnovu teksta zadatka postavljamo sistem jednačina:

\begin{cases} x - y = 11 \\ x \cdot y = -24 \end{cases}

Iz prve jednačine izražavamo nepoznatu $x$ preko nepoznate $y :$

x = y + 11

Zamenjujemo izraženo $x$ u drugu jednačinu:

(y + 11) \cdot y = -24

Množenjem i prebacivanjem svih članova na levu stranu dobijamo kvadratnu jednačinu po $y :$

y^2 + 11y + 24 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu koristeći formulu za rešavanje kvadratnih jednačina:

y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo koeficijente $a = 1 ,$ $b = 11$ i $c = 24 :$

y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}

Nastavljamo sa računanjem:

y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-11 \pm 5}{2}

Razdvajamo rešenja za $y :$

y_1 = \frac{-11 + 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-11 - 5}{2} = -8

Zamenjujemo dobijene vrednosti za $y$ u jednačinu $x = y + 11$ kako bismo našli odgovarajuće vrednosti za $x .$ Prvo za $y_1 = -3 :$

x_1 = -3 + 11 = 8

Zatim računamo vrednost za $y_2 = -8 :$

x_2 = -8 + 11 = 3

Zaključujemo da postoje dva para brojeva koji zadovoljavaju uslove zadatka:

(x_1, y_1) = (8, -3) \quad \text{i} \quad (x_2, y_2) = (3, -8)

195