Podeli

1588.
Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Da bi jednačine imale oba rešenja zajednička, one moraju biti kvadratne (kako bi imale po dva rešenja). Zato vodeći koeficijenti ne smeju biti jednaki nuli:

m-1 \neq 0 \implies m \neq 1 \quad \text{i} \quad n \neq 0

Dve kvadratne jednačine imaju ista rešenja ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni.

Postavljamo uslov proporcionalnosti koeficijenata:

\frac{m-1}{n} = \frac{-(m+1)}{-(2n+2)} = \frac{m}{2n}

Sređujemo srednji razlomak:

\frac{m-1}{n} = \frac{m+1}{2n+2} = \frac{m}{2n}

Izjednačavamo prvi i treći deo proporcije:

\frac{m-1}{n} = \frac{m}{2n}

Pošto je $n \neq 0 ,$ množimo jednačinu sa $2n :$

2(m-1) = m

Rešavamo po $m :$

2m - 2 = m \implies m = 2

Sada izjednačavamo prvi i drugi deo proporcije i zamenjujemo dobijenu vrednost $m = 2 :$

\frac{2-1}{n} = \frac{2+1}{2n+2}

Sređujemo izraz:

\frac{1}{n} = \frac{3}{2n+2}

Množimo unakrsno, uz uslov da je imenilac različit od nule ( $2n+2 \neq 0 \implies n \neq -1$ ):

2n + 2 = 3n

Rešavamo po $n :$

n = 2

Proveravamo da li za $m = 2$ i $n = 2$ jednačine zaista imaju rešenja (diskriminanta mora biti nenegativna). Za $m = 2$ prva jednačina glasi:

(2-1)x^2 - (2+1)x + 2 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0

Za $n = 2$ druga jednačina glasi:

2x^2 - (4+2)x + 4 = 0 \implies 2x^2 - 6x + 4 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0

Obe jednačine se svode na istu. Njena diskriminanta je $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 > 0 ,$ što znači da jednačine imaju dva realna i različita rešenja ( $x_1 = 1 ,$ $x_2 = 2$ ).

Zaključujemo da su tražene vrednosti:

m = 2, \quad n = 2

Započni učenje

Online grupni časovi

1588.
Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

1588.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

1588.
Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce