Zajednička rešenja dve kvadratne jednačine: m i n

Da bi jednačine imale oba rešenja zajednička, one moraju biti kvadratne (kako bi imale po dva rešenja). Zato vodeći koeficijenti ne smeju biti jednaki nuli:

m-1 \neq 0 \implies m \neq 1 \quad \text{i} \quad n \neq 0

Dve kvadratne jednačine imaju ista rešenja ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni.

Postavljamo uslov proporcionalnosti koeficijenata:

\frac{m-1}{n} = \frac{-(m+1)}{-(2n+2)} = \frac{m}{2n}

Sređujemo srednji razlomak:

\frac{m-1}{n} = \frac{m+1}{2n+2} = \frac{m}{2n}

Izjednačavamo prvi i treći deo proporcije:

\frac{m-1}{n} = \frac{m}{2n}

Pošto je $n \neq 0 ,$ množimo jednačinu sa $2n :$

2(m-1) = m

Rešavamo po $m :$

2m - 2 = m \implies m = 2

Sada izjednačavamo prvi i drugi deo proporcije i zamenjujemo dobijenu vrednost $m = 2 :$

\frac{2-1}{n} = \frac{2+1}{2n+2}

Sređujemo izraz:

\frac{1}{n} = \frac{3}{2n+2}

Množimo unakrsno, uz uslov da je imenilac različit od nule ( $2n+2 \neq 0 \implies n \neq -1$ ):

2n + 2 = 3n

Rešavamo po $n :$

n = 2

Proveravamo da li za $m = 2$ i $n = 2$ jednačine zaista imaju rešenja (diskriminanta mora biti nenegativna). Za $m = 2$ prva jednačina glasi:

(2-1)x^2 - (2+1)x + 2 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0

Za $n = 2$ druga jednačina glasi:

2x^2 - (4+2)x + 4 = 0 \implies 2x^2 - 6x + 4 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0

Obe jednačine se svode na istu. Njena diskriminanta je $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 > 0 ,$ što znači da jednačine imaju dva realna i različita rešenja ( $x_1 = 1 ,$ $x_2 = 2$ ).

Zaključujemo da su tražene vrednosti:

m = 2, \quad n = 2

Započni učenje

Privatni časovi

221.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci