Sastavljanje kvadratne jednačine: recipročna rešenja

Neka su $x_1$ i $x_2$ rešenja date jednačine. Prema Vijetovim formulama važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Tražimo novu kvadratnu jednačinu čija su rešenja $y_1$ i $y_2$ recipročna rešenjima polazne jednačine:

y_1 = \frac{1}{x_1}, \quad y_2 = \frac{1}{x_2}

Računamo zbir rešenja nove jednačine (označićemo ga sa $S$ ):

S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u dobijeni izraz:

S = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c}

Zatim računamo proizvod rešenja nove jednačine (označićemo ga sa $P$ ):

P = y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednost za proizvod iz Vijetovih formula:

P = \frac{1}{\frac{c}{a}} = \frac{a}{c}

Opšti oblik nove kvadratne jednačine je $y^2 - Sy + P = 0 .$ Zamenjujemo dobijene vrednosti za $S$ i $P :$

y^2 - \left(-\frac{b}{c}\right)y + \frac{a}{c} = 0 \implies y^2 + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c} = 0

Množenjem cele jednačine sa $c$ (što je dozvoljeno jer je prema uslovu zadatka $c \neq 0$ ) dobijamo konačan oblik tražene jednačine (zapisane preko promenljive $x$ ):

cx^2 + bx + a = 0

Započni učenje

Privatni časovi

220

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci