1587.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rešenja recipročna rešenjima jednačine ax2+bx+c=0, ax^2 + bx + c = 0 , a,c≠0. a, c \neq 0 .

REŠENJE ZADATKA

Neka su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja date jednačine. Prema Vijetovim formulama važi:

x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Tražimo novu kvadratnu jednačinu čija su rešenja y1 y_1 i y2 y_2 recipročna rešenjima polazne jednačine:

y1=1x1,y2=1x2y_1 = \frac{1}{x_1}, \quad y_2 = \frac{1}{x_2}

Računamo zbir rešenja nove jednačine (označićemo ga sa S S ):

S=y1+y2=1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u dobijeni izraz:

S=−baca=−bcS = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c}

Zatim računamo proizvod rešenja nove jednačine (označićemo ga sa P P ):

P=y1⋅y2=1x1⋅1x2=1x1⋅x2P = y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednost za proizvod iz Vijetovih formula:

P=1ca=acP = \frac{1}{\frac{c}{a}} = \frac{a}{c}

Opšti oblik nove kvadratne jednačine je y2−Sy+P=0. y^2 - Sy + P = 0 . Zamenjujemo dobijene vrednosti za S S i P: P :

y2−(−bc)y+ac=0  ⟹  y2+bcy+ac=0y^2 - \left(-\frac{b}{c}\right)y + \frac{a}{c} = 0 \implies y^2 + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c} = 0

Množenjem cele jednačine sa c c (što je dozvoljeno jer je prema uslovu zadatka c≠0 c \neq 0 ) dobijamo konačan oblik tražene jednačine (zapisane preko promenljive x x ):

cx2+bx+a=0cx^2 + bx + a = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti