1586. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Kvadratna jednačina čija su rešenja $x_1$ i $x_2$ može se zapisati pomoću Vijetovih formula u obliku:

x^2 - Sx + P = 0

gde je $S$ zbir, a $P$ proizvod rešenja:

S = x_1 + x_2, \quad P = x_1 \cdot x_2

Računamo zbir rešenja $S :$

S = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^2 + q^2}{pq}

Računamo proizvod rešenja $P :$

P = \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1

Zamenjujemo dobijene vrednosti za $S$ i $P$ u opšti oblik kvadratne jednačine:

x^2 - \frac{p^2 + q^2}{pq}x + 1 = 0

Množenjem cele jednačine sa $pq$ (kako bismo se oslobodili razlomaka, što je dozvoljeno jer je u uslovu zadatka dato da je $pq \neq 0$ ), dobijamo traženu kvadratnu jednačinu:

pqx^2 - (p^2 + q^2)x + pq = 0

219