1585.

218

TEKST ZADATKA

Data je kvadratna jednačina ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 čija su rešenja x1 x_1 i x2. x_2 . Formirati novu kvadratnu jednačinu čija će rešenja biti −x1 -x_1 i −x2. -x_2 .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih pravila za polaznu jednačinu, zbir i proizvod njenih rešenja su:

x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Neka su rešenja nove kvadratne jednačine y1=−x1 y_1 = -x_1 i y2=−x2. y_2 = -x_2 . Računamo zbir rešenja nove jednačine (označimo ga sa S S ):

S=y1+y2=−x1−x2=−(x1+x2)S = y_1 + y_2 = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2)

Zamenom vrednosti iz Vijetovih pravila dobijamo zbir nove jednačine:

S=−(−ba)=baS = -\left(-\frac{b}{a}\right) = \frac{b}{a}

Računamo proizvod rešenja nove jednačine (označimo ga sa P P ):

P=y1⋅y2=(−x1)⋅(−x2)P = y_1 \cdot y_2 = (-x_1) \cdot (-x_2)

Množenjem dva negativna broja dobijamo pozitivan proizvod, pa primenjujemo Vijetovo pravilo:

P=x1⋅x2=caP = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Nova kvadratna jednačina se formira pomoću formule y2−Sy+P=0. y^2 - Sy + P = 0 . Zamenom dobijenih vrednosti za S S i P P imamo:

y2−bay+ca=0y^2 - \frac{b}{a}y + \frac{c}{a} = 0

Množenjem cele jednačine sa a a dobijamo traženu kvadratnu jednačinu u standardnom obliku:

ay2−by+c=0ay^2 - by + c = 0

Alternativni način: Do istog rezultata možemo doći i uvođenjem smene. Ako je novo rešenje y=−x, y = -x , tada je x=−y. x = -y . Zamenom ove vrednosti u polaznu jednačinu dobijamo:

a(−y)2+b(−y)+c=0  ⟹  ay2−by+c=0a(-y)^2 + b(-y) + c = 0 \implies ay^2 - by + c = 0