1586.

219

TEKST ZADATKA

Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja x1=pq x_1 = \frac{p}{q} i x2=qp, x_2 = \frac{q}{p} , ako su p p i q q realni parametri i pq≠0. pq \neq 0 .

REŠENJE ZADATKA

Kvadratna jednačina čija su rešenja x1 x_1 i x2 x_2 može se zapisati pomoću Vijetovih formula u obliku:

x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0

gde je S S zbir, a P P proizvod rešenja:

S=x1+x2,P=x1⋅x2S = x_1 + x_2, \quad P = x_1 \cdot x_2

Računamo zbir rešenja S: S :

S=pq+qp=p2+q2pqS = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^2 + q^2}{pq}

Računamo proizvod rešenja P: P :

P=pq⋅qp=1P = \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1

Zamenjujemo dobijene vrednosti za S S i P P u opšti oblik kvadratne jednačine:

x2−p2+q2pqx+1=0x^2 - \frac{p^2 + q^2}{pq}x + 1 = 0

Množenjem cele jednačine sa pq pq (kako bismo se oslobodili razlomaka, što je dozvoljeno jer je u uslovu zadatka dato da je pq≠0 pq \neq 0 ), dobijamo traženu kvadratnu jednačinu:

pqx2−(p2+q2)x+pq=0pqx^2 - (p^2 + q^2)x + pq = 0