Vietove formule: najmanji zbir kvadrata rešenja

Primenjujemo Vijetove formule na kvadratnu jednačinu $x^2 - px - p + 1 = 0 :$

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= p \\ x_1 x_2 &= -p + 1 \end{aligned}

Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula da bismo dobili funkciju zbira kvadrata koja zavisi od parametra $p :$

S(p) = p^2 - 2(-p + 1) = p^2 + 2p - 2

Funkcija $S(p) = p^2 + 2p - 2$ je kvadratna sa pozitivnim vodećim koeficijentom, pa ima minimum u temenu parabole:

p = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1

Najmanji zbir kvadrata rešenja dobija se za $p = -1 ,$ a njegova vrednost je:

S(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3

222