1593.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

У једначини x2−4mx+5m2−6m+5=0 x^2 - 4mx + 5m^2 - 6m + 5 = 0 одредити m m тако да разлика корена буде највећа.

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo korene jednačine sa x1 x_1 i x2. x_2 . Razlika korena je ∣x1−x2∣. |x_1 - x_2| . Da bi ova vrednost bila maksimalna, njen kvadrat mora biti maksimalan, uz uslov da su koreni realni brojevi.

Kvadrat razlike korena možemo zapisati preko Vijetovih formula:

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2

Iz date kvadratne jednačine, primenom Vijetovih formula dobijamo zbir i proizvod korena:

{x1+x2=4mx1x2=5m2−6m+5\begin{cases} x_1 + x_2 = 4m \\ x_1x_2 = 5m^2 - 6m + 5 \end{cases}

Zamenjujemo ove vrednosti u izraz za kvadrat razlike:

(x1−x2)2=(4m)2−4(5m2−6m+5)(x_1 - x_2)^2 = (4m)^2 - 4(5m^2 - 6m + 5)

Sređujemo dobijeni izraz:

(x1−x2)2=16m2−20m2+24m−20=−4m2+24m−20(x_1 - x_2)^2 = 16m^2 - 20m^2 + 24m - 20 = -4m^2 + 24m - 20

Primetimo da je ovaj izraz zapravo diskriminanta D D kvadratne jednačine. Da bi koreni bili realni, mora važiti D≥0: D \ge 0 :

−4m2+24m−20≥0-4m^2 + 24m - 20 \ge 0

Deljenjem nejednačine sa −4 -4 menja se znak nejednakosti:

m2−6m+5≤0m^2 - 6m + 5 \le 0

Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo rešili nejednačinu:

(m−1)(m−5)≤0(m-1)(m-5) \le 0

Znak izraza određujemo pomoću tabele:

m<1m < 1
1<m<51 < m < 5
m>5m > 5
m−1m-1
−-
++
++
m−5m-5
−-
−-
++

Izraz je manji ili jednak nuli tamo gde je jedan faktor pozitivan, a drugi negativan (ili su jednaki nuli). Odatle dobijamo uslov za realnost korena:

m∈[1,5]m \in [1, 5]

Sada tražimo maksimum funkcije f(m)=−4m2+24m−20 f(m) = -4m^2 + 24m - 20 na intervalu [1,5]. [1, 5] . Grafik ove funkcije je parabola okrenuta nadole (jer je koeficijent uz kvadratni član negativan), pa maksimum dostiže u svom temenu.

Računamo m m koordinatu temena parabole koristeći formulu mT=−b2a: m_T = -\frac{b}{2a} :

mT=−242(−4)=3m_T = -\frac{24}{2(-4)} = 3

Proveravamo da li dobijena vrednost pripada uslovu za realnost korena. Pošto 3∈[1,5], 3 \in [1, 5] , to je tražena vrednost parametra m. m .

m=3m = 3

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti