1593. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo korene jednačine sa $x_1$ i $x_2 .$ Razlika korena je $|x_1 - x_2| .$ Da bi ova vrednost bila maksimalna, njen kvadrat mora biti maksimalan, uz uslov da su koreni realni brojevi.

Kvadrat razlike korena možemo zapisati preko Vijetovih formula:

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2

Iz date kvadratne jednačine, primenom Vijetovih formula dobijamo zbir i proizvod korena:

\begin{cases} x_1 + x_2 = 4m \\ x_1x_2 = 5m^2 - 6m + 5 \end{cases}

Zamenjujemo ove vrednosti u izraz za kvadrat razlike:

(x_1 - x_2)^2 = (4m)^2 - 4(5m^2 - 6m + 5)

Sređujemo dobijeni izraz:

(x_1 - x_2)^2 = 16m^2 - 20m^2 + 24m - 20 = -4m^2 + 24m - 20

Primetimo da je ovaj izraz zapravo diskriminanta $D$ kvadratne jednačine. Da bi koreni bili realni, mora važiti $D \ge 0 :$

-4m^2 + 24m - 20 \ge 0

Deljenjem nejednačine sa $-4$ menja se znak nejednakosti:

m^2 - 6m + 5 \le 0

Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo rešili nejednačinu:

(m-1)(m-5) \le 0

Znak izraza određujemo pomoću tabele:

m < 1

1 < m < 5

m > 5

m-1

-

+

+

m-5

-

-

+

Izraz je manji ili jednak nuli tamo gde je jedan faktor pozitivan, a drugi negativan (ili su jednaki nuli). Odatle dobijamo uslov za realnost korena:

m \in [1, 5]

Sada tražimo maksimum funkcije $f(m) = -4m^2 + 24m - 20$ na intervalu $[1, 5] .$ Grafik ove funkcije je parabola okrenuta nadole (jer je koeficijent uz kvadratni član negativan), pa maksimum dostiže u svom temenu.

Računamo $m$ koordinatu temena parabole koristeći formulu $m_T = -\frac{b}{2a} :$

m_T = -\frac{24}{2(-4)} = 3

Proveravamo da li dobijena vrednost pripada uslovu za realnost korena. Pošto $3 \in [1, 5] ,$ to je tražena vrednost parametra $m .$

m = 3

223