1594.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Sastaviti kvadratnu jednačinu čija rešenja x1 x_1 i x2 x_2 zadovoljavaju relacije:

4x1x2−5(x1+x2)+4=0i(x1−1)(x2−1)=164x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 4 = 0 \quad \text{i} \quad (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{1}{6}
REŠENJE ZADATKA

Prema Vijetovim formulama, zbir rešenja obeležavamo sa S, S , a proizvod sa P. P . Tražena kvadratna jednačina ima oblik x2−Sx+P=0. x^2 - Sx + P = 0 .

S=x1+x2,P=x1x2S = x_1 + x_2, \quad P = x_1 x_2

Zamenjujemo S S i P P u prvu datu relaciju:

4P−5S+4=0  ⟹  4P−5S=−44P - 5S + 4 = 0 \implies 4P - 5S = -4

Sređujemo drugu relaciju množenjem zagrada:

(x1−1)(x2−1)=x1x2−x1−x2+1=x1x2−(x1+x2)+1(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1

Zamenjujemo S S i P P u sređenu drugu relaciju:

P−S+1=16P - S + 1 = \frac{1}{6}

Izražavamo razliku P−S: P - S :

P−S=16−1  ⟹  P−S=−56P - S = \frac{1}{6} - 1 \implies P - S = -\frac{5}{6}

Sada imamo sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate:

{4P−5S=−4P−S=−56\begin{cases} 4P - 5S = -4 \\ P - S = -\frac{5}{6} \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo P P preko S: S :

P=S−56P = S - \frac{5}{6}

Zamenjujemo izraz za P P u prvu jednačinu:

4(S−56)−5S=−44\left(S - \frac{5}{6}\right) - 5S = -4

Rešavamo dobijenu jednačinu po S: S :

4S−206−5S=−4  ⟹  −S=−4+103  ⟹  −S=−23  ⟹  S=234S - \frac{20}{6} - 5S = -4 \implies -S = -4 + \frac{10}{3} \implies -S = -\frac{2}{3} \implies S = \frac{2}{3}

Računamo vrednost za P: P :

P=23−56=46−56=−16P = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}

Zamenjujemo dobijene vrednosti za S S i P P u opšti oblik kvadratne jednačine x2−Sx+P=0: x^2 - Sx + P = 0 :

x2−23x−16=0x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6} = 0

Množimo celu jednačinu sa 6 6 kako bismo dobili celobrojne koeficijente:

6x2−4x−1=06x^2 - 4x - 1 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti