1592.

222

TEKST ZADATKA

Ako su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine x2−px−p+1=0, x^2 - px - p + 1 = 0 , odrediti realan parametar p p tako da zbir kvadrata rešenja jednačine bude najmanji.

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo Vijetove formule na kvadratnu jednačinu x2−px−p+1=0: x^2 - px - p + 1 = 0 :

x1+x2=px1x2=−p+1\begin{aligned} x_1 + x_2 &= p \\ x_1 x_2 &= -p + 1 \end{aligned}

Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula da bismo dobili funkciju zbira kvadrata koja zavisi od parametra p: p :

S(p)=p2−2(−p+1)=p2+2p−2S(p) = p^2 - 2(-p + 1) = p^2 + 2p - 2

Funkcija S(p)=p2+2p−2 S(p) = p^2 + 2p - 2 je kvadratna sa pozitivnim vodećim koeficijentom, pa ima minimum u temenu parabole:

p=−b2a=−22⋅1=−1p = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1

Najmanji zbir kvadrata rešenja dobija se za p=−1, p = -1 , a njegova vrednost je:

S(−1)=(−1)2+2(−1)−2=1−2−2=−3S(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3