1493.

194.b

TEKST ZADATKA

Razlika kubova dva uzastopna prirodna broja jednaka je: 13669; Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Neka su traženi uzastopni prirodni brojevi n n i n+1. n+1 . Prema tekstu zadatka, razlika njihovih kubova je 13669, pa postavljamo jednačinu:

(n+1)3−n3=13669(n+1)^3 - n^3 = 13669

Primenjujemo formulu za kub binoma na izraz (n+1)3 (n+1)^3 i oduzimamo n3. n^3 .

(n3+3n2+3n+1)−n3=13669(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 13669

Sređujemo jednačinu poništavanjem članova sa n3 n^3 i prebacujemo 13669 na levu stranu.

3n2+3n+1−13669=03n^2 + 3n + 1 - 13669 = 0

Oduzimamo poznate vrednosti kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku.

3n2+3n−13668=03n^2 + 3n - 13668 = 0

Primećujemo da su svi koeficijenti deljivi sa 3. Delimo celu jednačinu sa 3 da bismo je pojednostavili.

n2+n−4556=0n^2 + n - 4556 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu primenom formule n1,2=−b±b2−4ac2a. n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .

n1,2=−1±12−4⋅1⋅(−4556)2⋅1n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4556)}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu (vrednost pod korenom).

n1,2=−1±1+182242=−1±182252n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 18224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{18225}}{2}

Koren iz 18225 je 135, pa dobijamo dva potencijalna rešenja za n. n .

n1,2=−1±1352n_{1,2} = \frac{-1 \pm 135}{2}

Računamo svako rešenje posebno:

n1=1342=67,n2=−1362=−68n_1 = \frac{134}{2} = 67, \quad n_2 = \frac{-136}{2} = -68

Pošto zadatak traži prirodne brojeve, rešenje n2=−68 n_2 = -68 odbacujemo. Zadržavamo n=67 n = 67 i računamo sledeći uzastopni broj.

n=67,n+1=68n = 67, \quad n+1 = 68