Dva uzastopna broja sa razlikom kubova 13669

Neka su traženi uzastopni prirodni brojevi $n$ i $n+1 .$ Prema tekstu zadatka, razlika njihovih kubova je 13669, pa postavljamo jednačinu:

(n+1)^3 - n^3 = 13669

Primenjujemo formulu za kub binoma na izraz $(n+1)^3$ i oduzimamo $n^3 .$

(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 13669

Sređujemo jednačinu poništavanjem članova sa $n^3$ i prebacujemo 13669 na levu stranu.

3n^2 + 3n + 1 - 13669 = 0

Oduzimamo poznate vrednosti kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku.

3n^2 + 3n - 13668 = 0

Primećujemo da su svi koeficijenti deljivi sa 3. Delimo celu jednačinu sa 3 da bismo je pojednostavili.

n^2 + n - 4556 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu primenom formule $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4556)}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu (vrednost pod korenom).

n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 18224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{18225}}{2}

Koren iz 18225 je 135, pa dobijamo dva potencijalna rešenja za $n .$

n_{1,2} = \frac{-1 \pm 135}{2}

Računamo svako rešenje posebno:

n_1 = \frac{134}{2} = 67, \quad n_2 = \frac{-136}{2} = -68

Pošto zadatak traži prirodne brojeve, rešenje $n_2 = -68$ odbacujemo. Zadržavamo $n = 67$ i računamo sledeći uzastopni broj.

n = 67, \quad n+1 = 68

194.b