1492. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Neka su ta dva uzastopna prirodna broja $n$ i $n+1 .$ Prema tekstu zadatka, razlika njihovih kubova je 547.

(n+1)^3 - n^3 = 547

Primenjujemo formulu za kub binoma $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ na izraz $(n+1)^3 .$

(n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 547

Sređujemo jednačinu tako što potiremo $n^3$ i $-n^3 .$

3n^2 + 3n + 1 = 547

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

3n^2 + 3n + 1 - 547 = 0

Oduzimamo poznate vrednosti.

3n^2 + 3n - 546 = 0

Delimo celu jednačinu sa 3 kako bismo pojednostavili koeficijente.

n^2 + n - 182 = 0

Dobili smo kvadratnu jednačinu oblika $an^2 + bn + c = 0 ,$ gde je $a=1 ,$ $b=1$ i $c=-182 .$ Rešavamo je primenom formule za kvadratnu jednačinu.

n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata u formulu.

n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu).

n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 728}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{729}}{2}

Pošto je $\sqrt{729} = 27 ,$ računamo dva potencijalna rešenja.

n_{1,2} = \frac{-1 \pm 27}{2}

Odvajamo rešenja na $n_1$ i $n_2 .$

n_1 = \frac{-1 + 27}{2} = 13 \quad \text{i} \quad n_2 = \frac{-1 - 27}{2} = -14

S obzirom na to da se u zadatku traže prirodni brojevi ( $n \in \mathbb{N}$ ), odbacujemo negativno rešenje $n_2 = -14 .$ Zadržavamo samo pozitivno rešenje.

n = 13

Nalazimo drugi traženi broj tako što dodajemo 1 našem rešenju.

n + 1 = 13 + 1 = 14

Konačan odgovor: traženi uzastopni prirodni brojevi su 13 i 14.

194.v