Dva uzastopna broja sa razlikom kubova 91

Neka su traženi uzastopni prirodni brojevi označeni sa $n$ i $n+1 ,$ pri čemu je $n \in \mathbb{N} .$

Postavljamo jednačinu na osnovu uslova zadatka. Kako je $n+1 > n ,$ razlika njihovih kubova se zapisuje kao:

(n+1)^3 - n^3 = 91

Primenjujemo formulu za kub binoma na izraz $(n+1)^3 .$

(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 91

Sređujemo jednačinu tako što potiremo članove $n^3$ i $-n^3 .$

3n^2 + 3n + 1 = 91

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku.

3n^2 + 3n - 90 = 0

Delimo celu jednačinu sa 3 radi lakšeg rešavanja.

n^2 + n - 30 = 0

Ovo je kvadratna jednačina oblika $an^2 + bn + c = 0 .$ Računamo njenu diskriminantu koristeći formulu $D = b^2 - 4ac .$

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121

Pošto je $D > 0 ,$ jednačina ima dva različita realna rešenja. Računamo ih koristeći formulu za rešenja kvadratne jednačine:

n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}

Razdvajamo rešenja na $n_1$ i $n_2 .$

n_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{ili} \quad n_2 = \frac{-12}{2} = -6

Pošto se u zadatku traže prirodni brojevi ( $n \in \mathbb{N}$ ), negativno rešenje $n_2 = -6$ odbacujemo. Dakle, prvi broj je 5, a njegov sledbenik je:

n + 1 = 5 + 1 = 6

Traženi uzastopni prirodni brojevi su 5 i 6.

n = 5, \quad n + 1 = 6

Započni učenje

Privatni časovi

194.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci