1504. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Neka je $x$ prvi od tri uzastopna parna broja. Tada sledeća dva parna broja možemo zapisati kao $x + 2$ i $x + 4 .$

Prema uslovu zadatka, zbir njihovih kvadrata je 200. Postavljamo jednačinu:

x^2 + (x+2)^2 + (x+4)^2 = 200

Kvadriramo binome koristeći formulu za kvadrat binoma $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ i sređujemo jednačinu:

x^2 + (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 8x + 16) = 200

Sabiramo slične monome na levoj strani jednačine:

3x^2 + 12x + 20 = 200

Prebacujemo 200 na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku $ax^2 + bx + c = 0 :$

3x^2 + 12x - 180 = 0

Delimo celu jednačinu sa 3 da bismo je pojednostavili i olakšali rešavanje:

x^2 + 4x - 60 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu, gde je $a=1 ,$ $b=4$ i $c=-60 :$

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2}

Koren iz 256 je 16, pa dobijamo dva moguća rešenja za $x :$

x_{1,2} = \frac{-4 \pm 16}{2}

Računamo prvo rešenje $x_1 :$

x_1 = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6

Računamo drugo rešenje $x_2 :$

x_2 = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10

Oba dobijena rešenja su parni brojevi, što znači da imamo dva skupa rešenja. Za $x_1 = 6 ,$ traženi uzastopni parni brojevi su:

6, 8, 10

Za drugo rešenje $x_2 = -10 ,$ traženi uzastopni parni brojevi su:

-10, -8, -6

193