Tri uzastopna broja sa zbirom kvadrata 110

Neka je prvi ceo broj $x .$ Naredna dva uzastopna cela broja su $x+1$ i $x+2 .$

Na osnovu uslova zadatka, zbir njihovih kvadrata iznosi 110. Postavljamo jednačinu:

x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 110

Kvadriramo binome u jednačini koristeći formulu za kvadrat binoma $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 :$

x^2 + (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 110

Sređujemo jednačinu grupisanjem sličnih članova:

3x^2 + 6x + 5 = 110

Prebacujemo broj 110 na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku $ax^2 + bx + c = 0 :$

3x^2 + 6x - 105 = 0

Primećujemo da su svi koeficijenti deljivi sa 3. Delimo celu jednačinu sa 3 kako bismo je pojednostavili:

x^2 + 2x - 35 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$ Zamenjujemo koeficijente $a=1 ,$ $b=2$ i $c=-35 :$

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2}

Koren iz 144 je 12, pa jednačina postaje:

x_{1,2} = \frac{-2 \pm 12}{2}

Razdvajamo rešenja i računamo vrednosti za $x_1$ i $x_2 :$

x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = 5 \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = -7

Pošto zadatak traži skupove od tri uzastopna cela broja, imamo dva moguća rešenja. Za prvo rešenje $x_1 = 5 ,$ brojevi su:

5, 6, 7

Za drugo rešenje $x_2 = -7 ,$ brojevi su:

-7, -6, -5

192