1846.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka je traženi dvocifreni broj oblika $\overline{xy} ,$ gde je $x$ cifra desetica ($x \in \{1, 2, \dots, 9\}$), a $y$ cifra jedinica ($y \in \{0, 1, \dots, 9\}$). Vrednost ovog broja se može zapisati kao:

Prema prvom uslovu zadatka, broj je jednak dvostrukom proizvodu svojih cifara. Postavljamo prvu jednačinu:

Prema drugom uslovu, kada cifre promene mesta, dobija se broj $\overline{yx} = 10y + x .$ Novi broj je za $27$ veći od početnog. Postavljamo drugu jednačinu:

Sređujemo drugu jednačinu tako što oslobađamo zagrade i grupišemo nepoznate:

Deljenjem jednačine sa $9$ dobijamo jednostavnu vezu između cifara, iz koje izražavamo $y :$

Zamenjujemo izraz za $y$ u prvu jednačinu:

Množimo i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $x :$

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

Dobijamo dva rešenja za $x :$ $x_1 = 3$ i $x_2 = -\frac{1}{2} .$ Pošto $x$ mora biti celobrojna cifra od $1$ do $9 ,$ jedino validno rešenje je:

Računamo vrednost cifre $y :$

Spajanjem cifara desetica i jedinica, dobijamo traženi dvocifreni broj: