1845. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka su $a$ i $b$ dimenzije vrta. Obim pravougaonika je $O = 2a + 2b .$ Na osnovu datog obima postavljamo jednačinu:

2a + 2b = 280

Deljenjem jednačine sa 2 i izražavanjem $b$ preko $a$ dobijamo:

a + b = 140 \implies b = 140 - a

Pošto je aleja širine $1 \text{ m}$ izgrađena sa unutrašnje strane duž celog obima, dimenzije preostalog obradivog dela su smanjene za po $2 \text{ m}$ (po $1 \text{ m}$ sa svake strane). Nove dimenzije su $a - 2$ i $b - 2 .$

a' = a - 2, \quad b' = b - 2

Površina preostalog dela je $3255 \text{ m}^2 ,$ pa važi:

(a - 2)(b - 2) = 3255

Zamenjujemo $b = 140 - a$ u jednačinu za površinu:

(a - 2)(140 - a - 2) = 3255

Sređujemo izraz u zagradi i množimo binome kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

\begin{aligned} (a - 2)(138 - a) &= 3255 \\ 138a - a^2 - 276 + 2a &= 3255 \\ -a^2 + 140a - 276 - 3255 &= 0 \\ -a^2 + 140a - 3531 &= 0 \\ a^2 - 140a + 3531 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $a :$

a_{1,2} = \frac{140 \pm \sqrt{(-140)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3531}}{2} = \frac{140 \pm \sqrt{19600 - 14124}}{2} = \frac{140 \pm \sqrt{5476}}{2} = \frac{140 \pm 74}{2}

Računamo moguća rešenja za $a$ i odgovarajuće vrednosti za $b :$

\begin{aligned} a_1 &= \frac{214}{2} = 107 \implies b_1 = 140 - 107 = 33 \\ a_2 &= \frac{66}{2} = 33 \implies b_2 = 140 - 33 = 107 \end{aligned}

U oba slučaja dobijamo iste dimenzije pravougaonika. Dimenzije vrta su:

a = 107 \text{ m}, \quad b = 33 \text{ m}