1847. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka je dužina duži $AM = x .$ Pošto se tačka $M$ nalazi na duži između tačaka $A$ i $B ,$ dužina duži $MB$ se može izraziti kao razlika ukupne dužine i dužine $AM .$

MB = 11 - x

Prema uslovu zadatka, zbir kvadrata nad ovim dužima iznosi $65 \text{ cm}^2 .$ Postavljamo odgovarajuću jednačinu:

x^2 + (11 - x)^2 = 65

Kvadriramo binom $(11 - x)^2$ i sređujemo jednačinu:

x^2 + 121 - 22x + x^2 = 65

Grupišemo slične članove i prebacujemo sve na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku:

2x^2 - 22x + 121 - 65 = 0 \implies 2x^2 - 22x + 56 = 0

Delimo celu jednačinu sa $2$ radi lakšeg rešavanja:

x^2 - 11x + 28 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu pomoću formule $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}

Nalazimo rešenja za $x :$

x_1 = \frac{11 + 3}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{11 - 3}{2} = 4

Oba rešenja su pozitivna i manja od $11 ,$ što znači da su oba geometrijski moguća. Tačka $M$ se može nalaziti na dva mesta na duži $AB .$

AM = 7 \text{ cm, } MB = 4 \text{ cm} \quad \lor \quad AM = 4 \text{ cm, } MB = 7 \text{ cm}

354