1847.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Date su tačke A A i B B tako da je AB=11 cm. AB = 11 \text{ cm} . Odrediti između tih tačaka tačku M, M , tako da je zbir kvadrata konstruisanog nad duži AM AM i kvadrata konstruisanog nad duži MB MB jednak 65 cm2. 65 \text{ cm}^2 .

REŠENJE ZADATKA

Neka je dužina duži AM=x. AM = x . Pošto se tačka M M nalazi na duži između tačaka A A i B, B , dužina duži MB MB se može izraziti kao razlika ukupne dužine i dužine AM. AM .

MB=11−xMB = 11 - x

Prema uslovu zadatka, zbir kvadrata nad ovim dužima iznosi 65 cm2. 65 \text{ cm}^2 . Postavljamo odgovarajuću jednačinu:

x2+(11−x)2=65x^2 + (11 - x)^2 = 65

Kvadriramo binom (11−x)2 (11 - x)^2 i sređujemo jednačinu:

x2+121−22x+x2=65x^2 + 121 - 22x + x^2 = 65

Grupišemo slične članove i prebacujemo sve na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku:

2x2−22x+121−65=0  ⟹  2x2−22x+56=02x^2 - 22x + 121 - 65 = 0 \implies 2x^2 - 22x + 56 = 0

Delimo celu jednačinu sa 2 2 radi lakšeg rešavanja:

x2−11x+28=0x^2 - 11x + 28 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu pomoću formule x1,2=−b±b2−4ac2a: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :

x1,2=11±(−11)2−4⋅1⋅282x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x1,2=11±121−1122=11±92=11±32x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}

Nalazimo rešenja za x: x :

x1=11+32=7,x2=11−32=4x_1 = \frac{11 + 3}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{11 - 3}{2} = 4

Oba rešenja su pozitivna i manja od 11, 11 , što znači da su oba geometrijski moguća. Tačka M M se može nalaziti na dva mesta na duži AB. AB .

AM=7 cm, MB=4 cm∨AM=4 cm, MB=7 cmAM = 7 \text{ cm, } MB = 4 \text{ cm} \quad \lor \quad AM = 4 \text{ cm, } MB = 7 \text{ cm}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti