1805. Uopštvanje pojma ugla

Neka su uglovi četvorougla $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ i $\delta .$ Znamo da je zbir unutrašnjih uglova svakog konveksnog četvorougla jednak $360^\circ .$

\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ

Iz date razmere $\alpha : \beta : \gamma : \delta = 6 : 8 : 9 : 13 ,$ možemo uvesti koeficijent proporcionalnosti $k ,$ tako da važi:

\alpha = 6k, \quad \beta = 8k, \quad \gamma = 9k, \quad \delta = 13k

Zamenom ovih vrednosti u jednačinu zbira uglova, dobijamo linearnu jednačinu po $k :$

6k + 8k + 9k + 13k = 360^\circ

Sabiranjem koeficijenata na levoj strani dobijamo:

36k = 360^\circ \implies k = \frac{360^\circ}{36} = 10^\circ

Sada računamo vrednosti uglova u stepenima:

\begin{aligned} \alpha &= 6 \cdot 10^\circ = 60^\circ \\ \beta &= 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ \\ \gamma &= 9 \cdot 10^\circ = 90^\circ \\ \delta &= 13 \cdot 10^\circ = 130^\circ \end{aligned}

Da bismo uglove izrazili u radijanima, koristimo formulu $\text{rad} = \text{deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} :$

\begin{aligned} \alpha &= 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \\ \beta &= 80^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{9} \\ \gamma &= 90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2} \\ \delta &= 130^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{13\pi}{18} \end{aligned}

589