348

Neka je traženi razlomak $\frac{x}{y} .$ Njegova recipročna vrednost je $\frac{y}{x} .$ Na osnovu teksta zadatka postavljamo sistem jednačina:

Rešavamo prvu jednačinu tako što množimo unakrsno:

Množimo zagrade i prebacujemo sve članove na levu stranu:

Grupišemo članove kako bismo faktorisali izraz:

Primenjujemo razliku kvadrata na prvu zagradu:

Izvlačimo zajednički činilac $x+y$ ispred zagrade:

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Imamo dva moguća slučaja:

Razmotrimo prvi slučaj gde je $x+y = 0 ,$ odnosno $y = -x .$ Zamenom u drugu jednačinu dobijamo:

Sređivanjem ovog izraza dolazimo do kontradikcije, što znači da ovaj slučaj nema rešenja:

Zato razmatramo drugi slučaj, $x-y+3 = 0 ,$ odakle izražavamo $y :$

Menjamo $y = x + 3$ u drugu jednačinu iz početnog sistema:

Sređujemo imenilac i grupišemo razlomke sa nepoznatima na levu stranu:

Svodimo razlomke na levoj strani na zajednički imenilac:

Množimo zagrade u brojiocu:

Pojednostavljujemo brojilac:

Delimo brojilac leve strane i brojilac desne strane sa 6 kako bismo olakšali račun:

Množimo unakrsno:

Oslobađamo se zagrada:

Prebacujemo sve članove na desnu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu:

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine:

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine (koren iz 9604 je 98):

Prvo rešenje je ceo broj, što odgovara brojiocu traženog razlomka:

Drugo rešenje odbacujemo jer ne predstavlja celobrojni brojilac u kontekstu ovog zadatka:

Za $x = 5 ,$ računamo imenilac $y :$

Traženi razlomak je: