1546. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Imenioci razlomaka moraju biti različiti od nule:

4(x^2 - m^2) \neq 0, \quad m - x \neq 0, \quad x + m \neq 0

Iz ovih uslova dobijamo da mora važiti:

x \neq m \quad \text{i} \quad x \neq -m

Transformišemo drugi razlomak na levoj strani jednačine tako što izdvajamo minus ispred razlomka:

\frac{x}{m - x} = -\frac{x}{x - m}

Jednačina sada postaje:

\frac{m^2}{4(x - m)(x + m)} - \frac{x}{x - m} = \frac{2x}{x + m}

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, a to je $4(x - m)(x + m) :$

m^2 - 4x(x + m) = 2x \cdot 4(x - m)

Oslobađamo se zagrada:

m^2 - 4x^2 - 4mx = 8x^2 - 8mx

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku:

12x^2 - 4mx - m^2 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli $D = b^2 - 4ac ,$ gde je $a = 12 ,$ $b = -4m ,$ $c = -m^2 :$

D = (-4m)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-m^2)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 16m^2 + 48m^2 = 64m^2

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4m \pm \sqrt{64m^2}}{24} = \frac{4m \pm 8m}{24}

Dobijamo dva rešenja. Prvo rešenje je:

x_1 = \frac{4m + 8m}{24} = \frac{12m}{24} = \frac{m}{2}

Drugo rešenje je:

x_2 = \frac{4m - 8m}{24} = \frac{-4m}{24} = -\frac{m}{6}

Proveravamo uslove definisanosti $x \neq m$ i $x \neq -m .$ Za $m = 0 ,$ dobijamo $x_1 = 0$ i $x_2 = 0 ,$ što nije dozvoljeno jer mora biti $x \neq 0 .$ Zbog toga, za $m = 0$ jednačina nema rešenja.

Za $m \neq 0 ,$ oba rešenja zadovoljavaju uslove definisanosti, pa su to konačna rešenja jednačine.

x \in \left\{ -\frac{m}{6}, \frac{m}{2} \right\}, \quad m \neq 0

200.d