Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce
TEKST ZADATKA
Rešiti kvadratne jednačine, gde su m,n,a,b realni parametri (zadaci 199-204):
4(x2−m2)m2+m−xx=x+m2x
REŠENJE ZADATKA
Određujemo oblast definisanosti jednačine. Imenioci razlomaka moraju biti različiti od nule:
4(x2−m2)=0,m−x=0,x+m=0
Iz ovih uslova dobijamo da mora važiti:
x=mix=−m
Transformišemo drugi razlomak na levoj strani jednačine tako što izdvajamo minus ispred razlomka:
m−xx=−x−mx
Jednačina sada postaje:
4(x−m)(x+m)m2−x−mx=x+m2x
Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, a to je 4(x−m)(x+m):
m2−4x(x+m)=2x⋅4(x−m)
Oslobađamo se zagrada:
m2−4x2−4mx=8x2−8mx
Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku:
12x2−4mx−m2=0
Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli D=b2−4ac, gde je a=12,b=−4m,c=−m2:
D=(−4m)2−4⋅12⋅(−m2)
Sređujemo izraz za diskriminantu:
D=16m2+48m2=64m2
Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:
x1,2=2a−b±D=244m±64m2=244m±8m
Dobijamo dva rešenja. Prvo rešenje je:
x1=244m+8m=2412m=2m
Drugo rešenje je:
x2=244m−8m=24−4m=−6m
Proveravamo uslove definisanosti x=m i x=−m. Za m=0, dobijamo x1=0 i x2=0, što nije dozvoljeno jer mora biti x=0. Zbog toga, za m=0 jednačina nema rešenja.
Za m=0, oba rešenja zadovoljavaju uslove definisanosti, pa su to konačna rešenja jednačine.