Racionalna jednačina s parametrom: rešenja m i -m/2

Određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Imenioci ne smeju biti nula, pa mora važiti:

x \neq 0 \quad \text{i} \quad x + m \neq 0 \implies x \neq -m

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem, a to je izraz $x(x + m) ,$ kako bismo se oslobodili razlomaka:

\frac{2x + m}{x} \cdot x(x + m) - \frac{2x}{x + m} \cdot x(x + m) = 2 \cdot x(x + m)

Nakon skraćivanja dobijamo:

(2x + m)(x + m) - 2x \cdot x = 2x(x + m)

Množimo polinome i sređujemo izraze na obe strane:

2x^2 + 2mx + mx + m^2 - 2x^2 = 2x^2 + 2mx

Poništavamo $2x^2$ i $-2x^2$ na levoj strani i sabiramo slične monome:

3mx + m^2 = 2x^2 + 2mx

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku $ax^2 + bx + c = 0 :$

2x^2 + 2mx - 3mx - m^2 = 0 \implies 2x^2 - mx - m^2 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine. Koeficijenti su $a = 2 ,$ $b = -m$ i $c = -m^2 .$

D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m^2) = m^2 + 8m^2 = 9m^2

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-m) \pm \sqrt{9m^2}}{2 \cdot 2} = \frac{m \pm 3m}{4}

Razdvajamo rešenja na $x_1$ i $x_2 .$ Prvo rešenje je:

x_1 = \frac{m + 3m}{4} = \frac{4m}{4} = m

Drugo rešenje je:

x_2 = \frac{m - 3m}{4} = \frac{-2m}{4} = -\frac{m}{2}

Sada proveravamo uslove definisanosti $x \neq 0$ i $x \neq -m .$ Ako je $m = 0 ,$ tada je $x_1 = 0$ i $x_2 = 0 ,$ što se protivi uslovu $x \neq 0 .$ Dakle, za $m = 0$ jednačina nema rešenja.

Ako je $m \neq 0 ,$ rešenja $x_1 = m$ i $x_2 = -\frac{m}{2}$ su različita od $0$ i $-m .$ Na primer, da bi bilo $x_1 = -m ,$ moralo bi važiti $m = -m \implies 2m = 0 \implies m = 0 ,$ što je suprotno pretpostavci da je $m \neq 0 .$

Konačan zaključak o rešenjima u zavisnosti od parametra $m :$

\begin{cases} x \in \emptyset, & \text{za } m = 0 \\ x \in \left\{ m, -\frac{m}{2} \right\}, & \text{za } m \neq 0 \end{cases}

Započni učenje

Privatni časovi

200.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci