1343. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili zajednički imenilac i definisali oblast definisanosti jednačine.

24x^2 + 36x = 12x(2x + 3) \\ 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) \\ 12x^2 - 18x = 6x(2x - 3)

Postavljamo uslove da imenioci ne smeju biti nula: $2x + 3 \neq 0 ,$ $2x - 3 \neq 0$ i $x \neq 0 .$

x \neq -\frac{3}{2}, \quad x \neq \frac{3}{2}, \quad x \neq 0

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem (NZS) koji je $12x(2x - 3)(2x + 3) .$

(2x - 3)(2x - 3) + 2(12x) = 2(4 - x)(2x + 3)

Sređujemo izraze na obe strane jednačine.

(4x^2 - 12x + 9) + 24x = 2(8x + 12 - 2x^2 - 3x)

Dalje uprošćavamo i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0 .$

4x^2 + 12x + 9 = 10x + 24 - 4x^2 \\ 8x^2 + 2x - 15 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine za koeficijente $a = 8, b = 2, c = -15 .$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 4 + 480 = 484

Računamo vrednosti za $x .$

x = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{16} = \frac{-2 \pm 22}{16}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}, \quad x_2 = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}

Proveravamo rešenja u odnosu na uslove definisanosti. Pošto je uslov $x \neq -\frac{3}{2} ,$ rešenje $x_2$ otpada.

x = \frac{5}{4}

1343.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce