Razlomačka jednačina: 1 + (x - 1)/(x + 2) + 1/x

Pre početka rešavanja, moramo odrediti definisanost jednačine. Imenilac ne sme biti nula, pa važi:

x \neq 0 \quad \text{i} \quad x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem $x(x + 2)$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

x(x + 2) \cdot 1 + x(x + 2) \cdot \frac{x - 1}{x + 2} + x(x + 2) \cdot \frac{1}{x} = x(x + 2) \cdot \frac{3x + 2}{x(x + 2)}

Nakon skraćivanja, dobijamo sledeći izraz:

x(x + 2) + x(x - 1) + (x + 2) = 3x + 2

Sređujemo levu stranu jednačine množenjem zagrada:

x^2 + 2x + x^2 - x + x + 2 = 3x + 2

Sabiramo slične članove na levoj strani:

2x^2 + 2x + 2 = 3x + 2

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0 :$

2x^2 + 2x - 3x + 2 - 2 = 0

Dobijamo uprošćenu kvadratnu jednačinu:

2x^2 - x = 0

Ovu nepotpunu kvadratnu jednačinu rešavamo izvlačenjem zajedničkog faktora $x$ ispred zagrade:

x(2x - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli:

x = 0 \quad \text{ili} \quad 2x - 1 = 0

Rešavamo drugu linearnu jednačinu:

2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}

Proveravamo rešenja u odnosu na uslove definisanosti. Pošto je uslov bio $x \neq 0 ,$ rešenje $x_1 = 0$ se odbacuje.

x_1 = 0 \quad (\text{nije rešenje}), \quad x_2 = \frac{1}{2} \quad (\text{važeće rešenje})

158.g