1549.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Imenilac svakog razlomka mora biti različit od nule:

Faktorišemo imenioce kako bismo jasnije videli uslove domena:

Iz ovoga dobijamo uslove za parametar $b$ i nepoznatu $x :$

Zapisujemo jednačinu sa faktorisanim imeniocima na desnoj strani:

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, a to je $bx(x+a)(x-b) :$

Faktorišemo desnu stranu izdvajanjem zajedničkog faktora $(x+a) :$

Zamenjujemo to u jednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu:

Izdvajamo zajednički faktor $(x - b)$ iz sva tri člana:

Sređujemo izraz unutar uglastih zagrada grupisanjem poslednja dva člana uz zajednički faktor $(x+a) :$

Pojednostavljujemo zagradu:

Izvlačimo zajednički faktor $b$ iz srednje zagrade:

Sređujemo poslednju zagradu i dobijamo faktorizovanu kvadratnu jednačinu:

Pošto je iz uslova domena $b \neq 0 ,$ jednačinu možemo podeliti sa $b .$ Dobijamo dva potencijalna rešenja:

Proveravamo rešenja u odnosu na uslove domena. Rešenje $x_1 = b$ ne zadovoljava uslov $x \neq b ,$ pa ga odbacujemo (to je lažno rešenje).

Rešenje $x_2 = a$ je validno ukoliko zadovoljava preostale uslove domena ($x \neq 0$ i $x \neq -a$):

Takođe, pošto smo odbacili $x = b ,$ uslov $x \neq b$ za rešenje $x = a$ znači da mora biti:

Zaključujemo: ako su parametri takvi da ne krše domenske uslove, jednačina ima jedinstveno rešenje.

U suprotnom, za zabranjene vrednosti parametara, jednačina nema rešenja.