1548. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je izraz u imeniocu sa desne strane jednakosti kvadrat binoma:

a^2 - 2ax + x^2 = (x - a)^2

Zapisujemo jednačinu u novom obliku:

1 - \frac{2b}{x - a} = \frac{a^2 - b^2}{(x - a)^2}

Određujemo uslov definisanosti jednačine. Imenilac ne sme biti jednak nuli:

x - a \neq 0 \implies x \neq a

Množimo celu jednačinu sa $(x - a)^2$ uz uslov $x \neq a :$

(x - a)^2 - 2b(x - a) = a^2 - b^2

Kvadriramo binom na levoj strani i oslobađamo se zagrada:

x^2 - 2ax + a^2 - 2bx + 2ab = a^2 - b^2

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku $Ax^2 + Bx + C = 0 :$

x^2 - 2(a + b)x + 2ab + b^2 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine koristeći formulu $D = B^2 - 4AC ,$ gde je $A = 1 ,$ $B = -2(a+b)$ i $C = 2ab + b^2 :$

D = (-2(a+b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2ab + b^2)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 8ab - 4b^2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 8ab - 4b^2 = 4a^2

S obzirom da je $D = 4a^2 \ge 0 ,$ rešenja tražimo koristeći formulu $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} .$ Koren iz diskriminante je $\sqrt{4a^2} = 2|a| ,$ ali zbog znaka $\pm$ možemo pisati samo $2a :$

x_{1,2} = \frac{2(a+b) \pm 2a}{2} = a + b \pm a

Dobijamo dva potencijalna rešenja jednačine:

x_1 = 2a + b, \quad x_2 = b

Sada proveravamo uslov definisanosti $x \neq a$ za prvo rešenje:

2a + b = a \implies a + b = 0 \implies b = -a

Proveravamo uslov definisanosti $x \neq a$ za drugo rešenje:

b = a

Analiziramo rešenja u zavisnosti od parametara. Ako je $b = a = 0 ,$ tada je $x_1 = 0$ i $x_2 = 0 ,$ što se kosi sa uslovom $x \neq 0 ,$ pa jednačina nema rešenja.

Ako je $b = a \neq 0 ,$ tada je $x_2 = a$ odbačeno zbog uslova, pa ostaje samo jedno rešenje:

x = 3a

Ako je $b = -a \neq 0 ,$ tada je $x_1 = a$ odbačeno zbog uslova, pa ostaje samo drugo rešenje:

x = -a

Za sve ostale slučajeve, odnosno kada je $a \neq b$ i $a \neq -b$ (što se može zapisati kao $|a| \neq |b|$ ), oba rešenja su validna:

x \in \{2a + b, b\}

201