1548.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

1−2bx−a=a2−b2a2−2ax+x21 - \frac{2b}{x - a} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ax + x^2}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je izraz u imeniocu sa desne strane jednakosti kvadrat binoma:

a2−2ax+x2=(x−a)2a^2 - 2ax + x^2 = (x - a)^2

Zapisujemo jednačinu u novom obliku:

1−2bx−a=a2−b2(x−a)21 - \frac{2b}{x - a} = \frac{a^2 - b^2}{(x - a)^2}

Određujemo uslov definisanosti jednačine. Imenilac ne sme biti jednak nuli:

x−a≠0  ⟹  x≠ax - a \neq 0 \implies x \neq a

Množimo celu jednačinu sa (x−a)2 (x - a)^2 uz uslov x≠a: x \neq a :

(x−a)2−2b(x−a)=a2−b2(x - a)^2 - 2b(x - a) = a^2 - b^2

Kvadriramo binom na levoj strani i oslobađamo se zagrada:

x2−2ax+a2−2bx+2ab=a2−b2x^2 - 2ax + a^2 - 2bx + 2ab = a^2 - b^2

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku Ax2+Bx+C=0: Ax^2 + Bx + C = 0 :

x2−2(a+b)x+2ab+b2=0x^2 - 2(a + b)x + 2ab + b^2 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine koristeći formulu D=B2−4AC, D = B^2 - 4AC , gde je A=1, A = 1 , B=−2(a+b) B = -2(a+b) i C=2ab+b2: C = 2ab + b^2 :

D=(−2(a+b))2−4⋅1⋅(2ab+b2)D = (-2(a+b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2ab + b^2)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D=4(a2+2ab+b2)−8ab−4b2=4a2+8ab+4b2−8ab−4b2=4a2D = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 8ab - 4b^2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 8ab - 4b^2 = 4a^2

S obzirom da je D=4a2≥0, D = 4a^2 \ge 0 , rešenja tražimo koristeći formulu x1,2=−B±D2A. x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} . Koren iz diskriminante je 4a2=2∣a∣, \sqrt{4a^2} = 2|a| , ali zbog znaka ± \pm možemo pisati samo 2a: 2a :

x1,2=2(a+b)±2a2=a+b±ax_{1,2} = \frac{2(a+b) \pm 2a}{2} = a + b \pm a

Dobijamo dva potencijalna rešenja jednačine:

x1=2a+b,x2=bx_1 = 2a + b, \quad x_2 = b

Sada proveravamo uslov definisanosti x≠a x \neq a za prvo rešenje:

2a+b=a  ⟹  a+b=0  ⟹  b=−a2a + b = a \implies a + b = 0 \implies b = -a

Proveravamo uslov definisanosti x≠a x \neq a za drugo rešenje:

b=ab = a

Analiziramo rešenja u zavisnosti od parametara. Ako je b=a=0, b = a = 0 , tada je x1=0 x_1 = 0 i x2=0, x_2 = 0 , što se kosi sa uslovom x≠0, x \neq 0 , pa jednačina nema rešenja.

Ako je b=a≠0, b = a \neq 0 , tada je x2=a x_2 = a odbačeno zbog uslova, pa ostaje samo jedno rešenje:

x=3ax = 3a

Ako je b=−a≠0, b = -a \neq 0 , tada je x1=a x_1 = a odbačeno zbog uslova, pa ostaje samo drugo rešenje:

x=−ax = -a

Za sve ostale slučajeve, odnosno kada je a≠b a \neq b i a≠−b a \neq -b (što se može zapisati kao ∣a∣≠∣b∣ |a| \neq |b| ), oba rešenja su validna:

x∈{2a+b,b}x \in \{2a + b, b\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti