PrethodniSledeći
1552.

203

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

abx−x−a−1x2−2bx2+x2b2=1\frac{a}{bx - x} - \frac{a - 1}{x^2 - 2bx^2 + x^2b^2} = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo, faktorišemo imenioce kako bismo odredili uslove definisanosti jednačine.

bx−x=x(b−1)bx - x = x(b - 1)

Faktorišemo drugi imenilac:

x2−2bx2+x2b2=x2(1−2b+b2)=x2(b−1)2x^2 - 2bx^2 + x^2b^2 = x^2(1 - 2b + b^2) = x^2(b - 1)^2

Jednačina sada postaje:

ax(b−1)−a−1x2(b−1)2=1\frac{a}{x(b - 1)} - \frac{a - 1}{x^2(b - 1)^2} = 1

Da bi jednačina bila definisana, imenioci moraju biti različiti od nule:

x≠0ib≠1x \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 1

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem, a to je x2(b−1)2: x^2(b - 1)^2 :

a⋅x(b−1)−(a−1)=x2(b−1)2a \cdot x(b - 1) - (a - 1) = x^2(b - 1)^2

Preuređujemo jednačinu u standardni kvadratni oblik po promenljivoj x: x :

x2(b−1)2−a(b−1)x+(a−1)=0x^2(b - 1)^2 - a(b - 1)x + (a - 1) = 0

Ovo je kvadratna jednačina oblika Ax2+Bx+C=0, Ax^2 + Bx + C = 0 , gde je:

A=(b−1)2,B=−a(b−1),C=a−1A = (b - 1)^2, \quad B = -a(b - 1), \quad C = a - 1

Računamo diskriminantu jednačine D=B2−4AC: D = B^2 - 4AC :

D=(−a(b−1))2−4(b−1)2(a−1)D = (-a(b - 1))^2 - 4(b - 1)^2(a - 1)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D=a2(b−1)2−4(b−1)2(a−1)=(b−1)2(a2−4a+4)D = a^2(b - 1)^2 - 4(b - 1)^2(a - 1) = (b - 1)^2(a^2 - 4a + 4)

Prepoznajemo kvadrat binoma u drugoj zagradi:

D=(b−1)2(a−2)2D = (b - 1)^2(a - 2)^2

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine x1,2=−B±D2A: x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :

x1,2=a(b−1)±(b−1)2(a−2)22(b−1)2x_{1,2} = \frac{a(b - 1) \pm \sqrt{(b - 1)^2(a - 2)^2}}{2(b - 1)^2}

Pošto je (b−1)2(a−2)2=∣(b−1)(a−2)∣, \sqrt{(b - 1)^2(a - 2)^2} = |(b - 1)(a - 2)| , a ispred znaka korena imamo ±, \pm , znak apsolutne vrednosti ne menja skup rešenja. Zato rešenja možemo zapisati kao:

x1,2=a(b−1)±(b−1)(a−2)2(b−1)2x_{1,2} = \frac{a(b - 1) \pm (b - 1)(a - 2)}{2(b - 1)^2}

Izvlačimo (b−1) (b - 1) kao zajednički činilac u brojiocu i skraćujemo sa imeniocem (jer je b≠1 b \neq 1 ):

x1,2=(b−1)(a±(a−2))2(b−1)2=a±(a−2)2(b−1)x_{1,2} = \frac{(b - 1)(a \pm (a - 2))}{2(b - 1)^2} = \frac{a \pm (a - 2)}{2(b - 1)}

Računamo prvo rešenje x1: x_1 :

x1=a+(a−2)2(b−1)=2a−22(b−1)=2(a−1)2(b−1)=a−1b−1x_1 = \frac{a + (a - 2)}{2(b - 1)} = \frac{2a - 2}{2(b - 1)} = \frac{2(a - 1)}{2(b - 1)} = \frac{a - 1}{b - 1}

Računamo drugo rešenje x2: x_2 :

x2=a−(a−2)2(b−1)=a−a+22(b−1)=22(b−1)=1b−1x_2 = \frac{a - (a - 2)}{2(b - 1)} = \frac{a - a + 2}{2(b - 1)} = \frac{2}{2(b - 1)} = \frac{1}{b - 1}

Proveravamo uslov definisanosti x≠0. x \neq 0 . Drugo rešenje ne može biti nula jer je brojilac 1. 1 . Prvo rešenje može biti nula i to se dešava ako je a=1. a = 1 .

x1=0  ⟺  a−1=0  ⟺  a=1x_1 = 0 \iff a - 1 = 0 \iff a = 1

Dakle, ako je a=1, a = 1 , rešenje x1 x_1 se odbacuje zbog uslova zadatka i jednačina ima samo jedno rešenje x=1b−1. x = \frac{1}{b - 1} .

Konačna diskusija rešenja u zavisnosti od parametara:

{Za b=1 jednacˇina nije definisana.Za b≠1,a=1 jednacˇina ima jedno resˇenje: x=1b−1Za b≠1,a≠1 jednacˇina ima resˇenja: x1=a−1b−1, x2=1b−1\begin{cases} \text{Za } b = 1 \text{ jednačina nije definisana.} \\ \text{Za } b \neq 1, a = 1 \text{ jednačina ima jedno rešenje: } x = \frac{1}{b - 1} \\ \text{Za } b \neq 1, a \neq 1 \text{ jednačina ima rešenja: } x_1 = \frac{a - 1}{b - 1}, \, x_2 = \frac{1}{b - 1} \end{cases}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu