Racionalna jednačina s parametrima: imenilac bx - x

Prvo, faktorišemo imenioce kako bismo odredili uslove definisanosti jednačine.

bx - x = x(b - 1)

Faktorišemo drugi imenilac:

x^2 - 2bx^2 + x^2b^2 = x^2(1 - 2b + b^2) = x^2(b - 1)^2

Jednačina sada postaje:

\frac{a}{x(b - 1)} - \frac{a - 1}{x^2(b - 1)^2} = 1

Da bi jednačina bila definisana, imenioci moraju biti različiti od nule:

x \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 1

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem, a to je $x^2(b - 1)^2 :$

a \cdot x(b - 1) - (a - 1) = x^2(b - 1)^2

Preuređujemo jednačinu u standardni kvadratni oblik po promenljivoj $x :$

x^2(b - 1)^2 - a(b - 1)x + (a - 1) = 0

Ovo je kvadratna jednačina oblika $Ax^2 + Bx + C = 0 ,$ gde je:

A = (b - 1)^2, \quad B = -a(b - 1), \quad C = a - 1

Računamo diskriminantu jednačine $D = B^2 - 4AC :$

D = (-a(b - 1))^2 - 4(b - 1)^2(a - 1)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = a^2(b - 1)^2 - 4(b - 1)^2(a - 1) = (b - 1)^2(a^2 - 4a + 4)

Prepoznajemo kvadrat binoma u drugoj zagradi:

D = (b - 1)^2(a - 2)^2

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :$

x_{1,2} = \frac{a(b - 1) \pm \sqrt{(b - 1)^2(a - 2)^2}}{2(b - 1)^2}

Pošto je $\sqrt{(b - 1)^2(a - 2)^2} = |(b - 1)(a - 2)| ,$ a ispred znaka korena imamo $\pm ,$ znak apsolutne vrednosti ne menja skup rešenja. Zato rešenja možemo zapisati kao:

x_{1,2} = \frac{a(b - 1) \pm (b - 1)(a - 2)}{2(b - 1)^2}

Izvlačimo $(b - 1)$ kao zajednički činilac u brojiocu i skraćujemo sa imeniocem (jer je $b \neq 1$ ):

x_{1,2} = \frac{(b - 1)(a \pm (a - 2))}{2(b - 1)^2} = \frac{a \pm (a - 2)}{2(b - 1)}

Računamo prvo rešenje $x_1 :$

x_1 = \frac{a + (a - 2)}{2(b - 1)} = \frac{2a - 2}{2(b - 1)} = \frac{2(a - 1)}{2(b - 1)} = \frac{a - 1}{b - 1}

Računamo drugo rešenje $x_2 :$

x_2 = \frac{a - (a - 2)}{2(b - 1)} = \frac{a - a + 2}{2(b - 1)} = \frac{2}{2(b - 1)} = \frac{1}{b - 1}

Proveravamo uslov definisanosti $x \neq 0 .$ Drugo rešenje ne može biti nula jer je brojilac $1 .$ Prvo rešenje može biti nula i to se dešava ako je $a = 1 .$

x_1 = 0 \iff a - 1 = 0 \iff a = 1

Dakle, ako je $a = 1 ,$ rešenje $x_1$ se odbacuje zbog uslova zadatka i jednačina ima samo jedno rešenje $x = \frac{1}{b - 1} .$

Konačna diskusija rešenja u zavisnosti od parametara:

\begin{cases} \text{Za } b = 1 \text{ jednačina nije definisana.} \\ \text{Za } b \neq 1, a = 1 \text{ jednačina ima jedno rešenje: } x = \frac{1}{b - 1} \\ \text{Za } b \neq 1, a \neq 1 \text{ jednačina ima rešenja: } x_1 = \frac{a - 1}{b - 1}, \, x_2 = \frac{1}{b - 1} \end{cases}

Započni učenje

Privatni časovi

203

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci