1554. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo da transformišemo imenilac drugog razlomka kako bismo ga faktorisali:

m^3x^2 - m(2mx - 1) = m^3x^2 - 2m^2x + m = m(m^2x^2 - 2mx + 1) = m(mx - 1)^2

Sada možemo da prepišemo polaznu jednačinu u preglednijem obliku:

\frac{mx^2 - 1}{(mx - 1)^2} - \frac{(m - 1)x^2}{m(mx - 1)^2} = \frac{1}{m}

Određujemo oblast definisanosti jednačine. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli:

m \neq 0 \quad \text{i} \quad mx - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{m}

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem $m(mx - 1)^2 :$

m(mx^2 - 1) - (m - 1)x^2 = (mx - 1)^2

Sređujemo obe strane jednačine:

m^2x^2 - m - mx^2 + x^2 = m^2x^2 - 2mx + 1

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih uz stepene promenljive $x ,$ kako bismo dobili standardni oblik kvadratne jednačine:

-mx^2 + x^2 + 2mx - m - 1 = 0 \implies (1 - m)x^2 + 2mx - (m + 1) = 0

Analiziramo slučaj kada je vodeći koeficijent jednak nuli, odnosno $1 - m = 0 \implies m = 1 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

0 \cdot x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x - (1 + 1) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1

Međutim, iz uslova definisanosti imamo da za $m = 1$ mora važiti $x \neq \frac{1}{1} \implies x \neq 1 .$ Zbog toga za $m = 1$ jednačina nema rešenja.

Sada razmatramo slučaj kada je $m \neq 1$ (uz početni uslov $m \neq 0$ ). Jednačina je kvadratna, pa računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac :$

D = (2m)^2 - 4(1 - m)(-(m + 1))

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 4m^2 + 4(1 - m)(m + 1) = 4m^2 + 4(1 - m^2) = 4m^2 + 4 - 4m^2 = 4

Pošto je $D = 4 > 0 ,$ jednačina ima dva različita realna rešenja. Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4}}{2(1 - m)} = \frac{-2m \pm 2}{2(1 - m)}

Računamo prvo rešenje $x_1 :$

x_1 = \frac{-2m + 2}{2(1 - m)} = \frac{2(1 - m)}{2(1 - m)} = 1

Računamo drugo rešenje $x_2 :$

x_2 = \frac{-2m - 2}{2(1 - m)} = \frac{-2(m + 1)}{-2(m - 1)} = \frac{m + 1}{m - 1}

Proveravamo da li rešenje $x_1 = 1$ zadovoljava uslov definisanosti $x \neq \frac{1}{m} :$

1 \neq \frac{1}{m} \implies m \neq 1

Kako smo u slučaju $m \neq 1 ,$ prvo rešenje je uvek validno. Zatim proveravamo uslov definisanosti za drugo rešenje $x_2 :$

\frac{m + 1}{m - 1} \neq \frac{1}{m} \implies m(m + 1) \neq m - 1 \implies m^2 + m \neq m - 1 \implies m^2 \neq -1

Pošto je $m \in \mathbb{R} ,$ uslov $m^2 \neq -1$ je uvek ispunjen, pa je i drugo rešenje uvek validno.

Možemo da zapišemo konačan zaključak. Za $m \in \{0, 1\}$ jednačina nema rešenja, dok za $m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ jednačina ima dva rešenja.

x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}

204