1559. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Imenitelji ne smeju biti jednaki nuli:

x \neq a \quad \text{i} \quad x \neq b

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem $c^2(x-a)(x-b)$ kako bismo se oslobodili razlomaka:

c^2(x-b) + c^2(x-a) = (x-a)(x-b)

Množimo izraze u zagradama i sređujemo jednačinu:

c^2x - c^2b + c^2x - c^2a = x^2 - ax - bx + ab

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku $Ax^2 + Bx + C = 0 :$

x^2 - ax - bx - 2c^2x + ab + c^2a + c^2b = 0

Grupišemo članove uz $x$ i slobodne članove:

x^2 - (a + b + 2c^2)x + ab + c^2(a + b) = 0

Da bismo dokazali da su rešenja realna, računamo diskriminantu kvadratne jednačine $D = B^2 - 4AC :$

D = (-(a + b + 2c^2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ab + c^2(a + b))

Kvadriramo izraz tretirajući $(a+b)$ kao jedan član i oslobađamo se zagrada:

D = (a + b)^2 + 4c^2(a + b) + 4c^4 - 4ab - 4c^2(a + b)

Skraćujemo suprotne članove $4c^2(a + b)$ i $-4c^2(a + b) :$

D = (a + b)^2 - 4ab + 4c^4

Razvijamo kvadrat binoma $(a + b)^2 :$

D = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 4c^4 = a^2 - 2ab + b^2 + 4c^4

Prepoznajemo formulu za kvadrat binoma $(a - b)^2 :$

D = (a - b)^2 + 4c^4

Analiziramo znak diskriminante. Za svako $a, b, c \in \mathbf{R}$ važi $(a - b)^2 \ge 0$ i $c^4 \ge 0 .$ Pošto je dato da je $c \neq 0 ,$ sledi da je $4c^4 > 0 .$

D > 0

Pošto je diskriminanta uvek strogo veća od nule, kvadratna jednačina ima sigurno realna rešenja. Samim tim, rešenja polazne jednačine uvek pripadaju skupu realnih brojeva, što je i trebalo dokazati.

205.b