Diskriminanta: dokaz realnih rešenja, parametri p i q

Prvo određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x \neq 0 \quad \text{i} \quad x + p \neq 0 \implies x \neq -p

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, a to je izraz $qx(x+p) ,$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

\frac{1}{x + p} \cdot qx(x+p) + \frac{1}{x} \cdot qx(x+p) = \frac{1}{q} \cdot qx(x+p)

Skraćivanjem dobijamo:

qx + q(x+p) = x(x+p)

Oslobađamo se zagrada množenjem:

qx + qx + pq = x^2 + px

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku $ax^2 + bx + c = 0 :$

x^2 + px - 2qx - pq = 0

Grupisanjem članova uz $x ,$ jednačina dobija oblik:

x^2 + (p - 2q)x - pq = 0

Da bismo dokazali da su rešenja realni brojevi, potrebno je da pokažemo da je diskriminanta $D$ ove kvadratne jednačine veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu prema formuli $D = b^2 - 4ac :$

D = (p - 2q)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-pq)

Kvadriramo binom i sređujemo izraz:

D = p^2 - 4pq + 4q^2 + 4pq

Potiranjem članova $-4pq$ i $+4pq$ dobijamo:

D = p^2 + 4q^2

Analiziramo znak dobijene diskriminante. Kvadrati realnih brojeva su uvek nenegativni, pa važi $p^2 \ge 0$ i $q^2 \ge 0 .$ Pošto je po uslovu zadatka $q \neq 0 ,$ sledi da je $4q^2 > 0 .$

D = p^2 + 4q^2 > 0

S obzirom na to da je diskriminanta strogo pozitivna ( $D > 0$ ), kvadratna jednačina ima dva različita realna rešenja. Ukoliko ta rešenja zadovoljavaju početne uslove ( $x \neq 0$ i $x \neq -p$ ), ona su ujedno i rešenja polazne jednačine. Time je dokazano da rešenja pripadaju skupu realnih brojeva.

Započni učenje

Privatni časovi

205.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci