1822. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Izvučemo zajedničke faktore u obe jednačine:

\begin{cases} x^2(1 + y^2 + y^4) = 525 \\ x(1 + y + y^2) = 35 \end{cases}

Primetimo da se izraz $1 + y^2 + y^4$ može faktorisati dopunom do potpunog kvadrata:

1 + y^2 + y^4 = 1 + 2y^2 + y^4 - y^2 = (1 + y^2)^2 - y^2

Primenom razlike kvadrata dobijamo:

(1 + y^2)^2 - y^2 = (1 + y^2 - y)(1 + y^2 + y) = (1 - y + y^2)(1 + y + y^2)

Sada prva jednačina postaje:

x^2(1 - y + y^2)(1 + y + y^2) = 525

Kvadriramo drugu jednačinu sistema:

x^2(1 + y + y^2)^2 = 35^2 = 1225

Podelimo kvadriranu drugu jednačinu sa prvom jednačinom. Pošto je $x(1 + y + y^2) = 35 ,$ znamo da je $x \neq 0$ i $1 + y + y^2 \neq 0 ,$ pa je deljenje dozvoljeno:

\frac{x^2(1 + y + y^2)^2}{x^2(1 - y + y^2)(1 + y + y^2)} = \frac{1225}{525}

Skratimo razlomke na obe strane:

\frac{1 + y + y^2}{1 - y + y^2} = \frac{7}{3}

Množenjem unakrsno dobijamo:

3(1 + y + y^2) = 7(1 - y + y^2)

Sredimo jednačinu:

3 + 3y + 3y^2 = 7 - 7y + 7y^2

Prebacimo sve članove na desnu stranu i izjednačimo sa nulom:

4y^2 - 10y + 4 = 0

Podelimo jednačinu sa 2:

2y^2 - 5y + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $y :$

y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $y :$

y_1 = 2, \quad y_2 = \frac{1}{2}

Iz druge jednačine sistema izrazimo $x :$

x = \frac{35}{1 + y + y^2}

Za $y_1 = 2$ računamo $x_1 :$

x_1 = \frac{35}{1 + 2 + 2^2} = \frac{35}{7} = 5

Za $y_2 = \frac{1}{2}$ računamo $x_2 :$

x_2 = \frac{35}{1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{35}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{35}{\frac{7}{4}} = 20

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \left\{ (5, 2), \left(20, \frac{1}{2}\right) \right\}

347