1821.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sisteme jednačina (zadaci 330-332):

{x2−3xy+2y2=0x2+2xy+y−y2=8\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + 2xy + y - y^2 = 8 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prva jednačina sistema je homogena kvadratna jednačina po promenljivama x x i y. y . Možemo je faktorisati.

x2−3xy+2y2=0x^2 - 3xy + 2y^2 = 0

Rastavljamo srednji član −3xy -3xy na −xy−2xy -xy - 2xy kako bismo grupisali članove:

x2−xy−2xy+2y2=0x^2 - xy - 2xy + 2y^2 = 0

Izvlačimo zajedničke činioce iz prva dva i poslednja dva člana:

x(x−y)−2y(x−y)=0x(x - y) - 2y(x - y) = 0

Izvlačimo zajedničku zagradu (x−y): (x - y) :

(x−2y)(x−y)=0(x - 2y)(x - y) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

x−2y=0∨x−y=0x - 2y = 0 \quad \lor \quad x - y = 0

Odnosno:

x=2y∨x=yx = 2y \quad \lor \quad x = y

**Slučaj 1:** Zamenjujemo x=y x = y u drugu jednačinu sistema.

y2+2y(y)+y−y2=8y^2 + 2y(y) + y - y^2 = 8

Sređujemo jednačinu:

y2+2y2+y−y2=8  ⟹  2y2+y−8=0y^2 + 2y^2 + y - y^2 = 8 \implies 2y^2 + y - 8 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po y: y :

y1,2=−1±12−4⋅2⋅(−8)2⋅2y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost pod korenom:

y1,2=−1±1+644=−1±654y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 64}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}

Pošto je x=y, x = y , dobijamo prva dva rešenja sistema:

(x1,y1)=(−1+654,−1+654),(x2,y2)=(−1−654,−1−654)(x_1, y_1) = \left( \frac{-1 + \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} \right), \quad (x_2, y_2) = \left( \frac{-1 - \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} \right)

**Slučaj 2:** Zamenjujemo x=2y x = 2y u drugu jednačinu sistema.

(2y)2+2(2y)y+y−y2=8(2y)^2 + 2(2y)y + y - y^2 = 8

Sređujemo jednačinu:

4y2+4y2+y−y2=8  ⟹  7y2+y−8=04y^2 + 4y^2 + y - y^2 = 8 \implies 7y^2 + y - 8 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po y: y :

y3,4=−1±12−4⋅7⋅(−8)2⋅7y_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8)}}{2 \cdot 7}

Računamo vrednost pod korenom:

y3,4=−1±1+22414=−1±22514=−1±1514y_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{14} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{14} = \frac{-1 \pm 15}{14}

Računamo pojedinačne vrednosti za y: y :

y3=−1+1514=1414=1,y4=−1−1514=−1614=−87y_3 = \frac{-1 + 15}{14} = \frac{14}{14} = 1, \quad y_4 = \frac{-1 - 15}{14} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}

Pošto je x=2y, x = 2y , računamo odgovarajuće vrednosti za x: x :

x3=2⋅1=2,x4=2⋅(−87)=−167x_3 = 2 \cdot 1 = 2, \quad x_4 = 2 \cdot \left(-\frac{8}{7}\right) = -\frac{16}{7}

Dobijamo još dva rešenja sistema:

(x3,y3)=(2,1),(x4,y4)=(−167,−87)(x_3, y_3) = (2, 1), \quad (x_4, y_4) = \left( -\frac{16}{7}, -\frac{8}{7} \right)

Konačan skup rešenja sistema je unija svih dobijenih rešenja:

(x,y)∈{(−1+654,−1+654),(−1−654,−1−654),(2,1),(−167,−87)}(x, y) \in \left\{ \left( \frac{-1 + \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} \right), \left( \frac{-1 - \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} \right), (2, 1), \left( -\frac{16}{7}, -\frac{8}{7} \right) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti