Sistem sa homogenom jednačinom: x = y ili x = 2y

Prva jednačina sistema je homogena kvadratna jednačina po promenljivama $x$ i $y .$ Možemo je faktorisati.

x^2 - 3xy + 2y^2 = 0

Rastavljamo srednji član $-3xy$ na $-xy - 2xy$ kako bismo grupisali članove:

x^2 - xy - 2xy + 2y^2 = 0

Izvlačimo zajedničke činioce iz prva dva i poslednja dva člana:

x(x - y) - 2y(x - y) = 0

Izvlačimo zajedničku zagradu $(x - y) :$

(x - 2y)(x - y) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

x - 2y = 0 \quad \lor \quad x - y = 0

Odnosno:

x = 2y \quad \lor \quad x = y

**Slučaj 1:** Zamenjujemo $x = y$ u drugu jednačinu sistema.

y^2 + 2y(y) + y - y^2 = 8

Sređujemo jednačinu:

y^2 + 2y^2 + y - y^2 = 8 \implies 2y^2 + y - 8 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $y :$

y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost pod korenom:

y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 64}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}

Pošto je $x = y ,$ dobijamo prva dva rešenja sistema:

(x_1, y_1) = \left( \frac{-1 + \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} \right), \quad (x_2, y_2) = \left( \frac{-1 - \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} \right)

**Slučaj 2:** Zamenjujemo $x = 2y$ u drugu jednačinu sistema.

(2y)^2 + 2(2y)y + y - y^2 = 8

Sređujemo jednačinu:

4y^2 + 4y^2 + y - y^2 = 8 \implies 7y^2 + y - 8 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $y :$

y_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8)}}{2 \cdot 7}

Računamo vrednost pod korenom:

y_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{14} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{14} = \frac{-1 \pm 15}{14}

Računamo pojedinačne vrednosti za $y :$

y_3 = \frac{-1 + 15}{14} = \frac{14}{14} = 1, \quad y_4 = \frac{-1 - 15}{14} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}

Pošto je $x = 2y ,$ računamo odgovarajuće vrednosti za $x :$

x_3 = 2 \cdot 1 = 2, \quad x_4 = 2 \cdot \left(-\frac{8}{7}\right) = -\frac{16}{7}

Dobijamo još dva rešenja sistema:

(x_3, y_3) = (2, 1), \quad (x_4, y_4) = \left( -\frac{16}{7}, -\frac{8}{7} \right)

Konačan skup rešenja sistema je unija svih dobijenih rešenja:

(x, y) \in \left\{ \left( \frac{-1 + \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{65}}{4} \right), \left( \frac{-1 - \sqrt{65}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{65}}{4} \right), (2, 1), \left( -\frac{16}{7}, -\frac{8}{7} \right) \right\}

332.a