Sistem jednačina sa apsolutnim vrednostima: |y|

Pre rešavanja, definišimo izraze sa apsolutnim vrednostima iz sistema. Prvo definišemo izraz $|x^2 - 2x| :$

|x^2 - 2x| = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{za } x^2 - 2x \ge 0 \\ -(x^2 - 2x), & \text{za } x^2 - 2x < 0 \end{cases}

Zatim definišemo izraz $|y| :$

|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Iz druge jednačine imamo da je $|y| = 1 - x^2 .$ Kako je apsolutna vrednost uvek nenegativna ( $|y| \ge 0$ ), mora važiti:

1 - x^2 \ge 0

Rešavanjem ove nejednačine dobijamo uslov za $x :$

x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]

Iz prve jednačine izražavamo $y :$

y = 1 - |x^2 - 2x|

Analizirajmo znak izraza $x^2 - 2x = x(x - 2)$ za $x \in [-1, 1] .$ Pošto je $x \le 1 ,$ izraz $x - 2$ je uvek negativan. Znak celog izraza zavisi samo od $x .$ Razlikovaćemo dva slučaja: $x \in [-1, 0]$ i $x \in (0, 1] .$

Slučaj 1: Neka je $x \in [-1, 0] .$ Tada je $x \le 0 ,$ pa je $x(x - 2) \ge 0 .$ Zato je:

|x^2 - 2x| = x^2 - 2x

Zamenjujemo ovo u izraz za $y :$

y = 1 - (x^2 - 2x) = -x^2 + 2x + 1

Zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u drugu jednačinu $x^2 + |y| = 1 :$

x^2 + |-x^2 + 2x + 1| = 1

Definišimo izraz sa apsolutnom vrednošću koji se pojavljuje u ovom slučaju:

|-x^2 + 2x + 1| = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, & \text{za } -x^2 + 2x + 1 \ge 0 \\ -(-x^2 + 2x + 1), & \text{za } -x^2 + 2x + 1 < 0 \end{cases}

Da bismo oslobodili apsolutnu vrednost, ispitujemo znak izraza $-x^2 + 2x + 1$ za $x \in [-1, 0] .$ Koreni jednačine $-x^2 + 2x + 1 = 0$ su $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2} .$ Parabola je okrenuta nadole, pa je izraz nenegativan za $x \in [1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}] .$ Pošto je $1 - \sqrt{2} \approx -0.414 ,$ interval $[-1, 0]$ delimo na dva podsistema.

Podslučaj 1.1: $x \in [-1, 1 - \sqrt{2}) .$ Na ovom intervalu je $-x^2 + 2x + 1 < 0 ,$ pa je $|-x^2 + 2x + 1| = x^2 - 2x - 1 .$ Jednačina postaje:

x^2 + (x^2 - 2x - 1) = 1

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 2x - 2 = 0 \implies x^2 - x - 1 = 0

Koreni ove jednačine su:

x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Proveravamo koji koren pripada intervalu $[-1, 1 - \sqrt{2}) .$ Kako je $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0 ,$ to rešenje odbacujemo. Za drugo rešenje imamo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618 ,$ što pripada intervalu (jer je $-0.618 \in [-1, -0.414)$ ). Dakle, $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ je rešenje.

Računamo odgovarajuće $y :$

y = -\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Podslučaj 1.2: $x \in [1 - \sqrt{2}, 0] .$ Na ovom intervalu je $-x^2 + 2x + 1 \ge 0 ,$ pa je $|-x^2 + 2x + 1| = -x^2 + 2x + 1 .$ Jednačina postaje:

x^2 + (-x^2 + 2x + 1) = 1

Sređivanjem dobijamo:

2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0

Rešenje $x = 0$ pripada intervalu $[1 - \sqrt{2}, 0] .$ Računamo odgovarajuće $y :$

y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1

Slučaj 2: Neka je $x \in (0, 1] .$ Tada je $x > 0 ,$ pa je $x(x - 2) < 0 .$ Zato je:

|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x

Zamenjujemo ovo u izraz za $y :$

y = 1 - (-x^2 + 2x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Pošto je $y = (x - 1)^2 \ge 0$ za svako $x ,$ imamo da je $|y| = y = x^2 - 2x + 1 .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu $x^2 + |y| = 1 :$

x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 1

Sređivanjem dobijamo:

2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0

Rešenja su $x = 0$ i $x = 1 .$ Pošto razmatramo interval $x \in (0, 1] ,$ prihvatamo samo rešenje $x = 1 .$

Računamo odgovarajuće $y :$

y = (1 - 1)^2 = 0

Konačan skup rešenja sistema je unija rešenja iz svih slučajeva:

(x, y) \in \left\{ \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right), (0, 1), (1, 0) \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

331.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci