1820. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Zadat je sistem jednačina:

\begin{cases} x^2 - 7xy + 10y^2 = 0 \\ x(x - y) + y(y + 4) = 10 + x \end{cases}

Posmatrajmo prvu jednačinu sistema. Možemo je faktorisati tako što ćemo srednji član $-7xy$ rastaviti na $-2xy - 5xy :$

x^2 - 2xy - 5xy + 10y^2 = 0

Grupisanjem članova dobijamo:

x(x - 2y) - 5y(x - 2y) = 0

Izvlačenjem zajedničkog faktora $(x - 2y)$ dobijamo:

(x - 5y)(x - 2y) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Iz ovoga slede dva moguća slučaja:

x = 5y \quad \text{ili} \quad x = 2y

Sredimo sada drugu jednačinu sistema množenjem i prebacivanjem svih članova na levu stranu:

x^2 - xy + y^2 + 4y - x - 10 = 0

Prvi slučaj: $x = 2y .$ Zamenićemo ovo u sređenu drugu jednačinu:

(2y)^2 - (2y)y + y^2 + 4y - 2y - 10 = 0

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $y :$

4y^2 - 2y^2 + y^2 + 2y - 10 = 0

Što se svodi na:

3y^2 + 2y - 10 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 120}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{124}}{6}

Pojednostavljivanjem korena dobijamo:

y_{1,2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{31}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{31}}{3}

Za ove vrednosti $y$ računamo odgovarajuće vrednosti $x$ koristeći $x = 2y :$

x_{1,2} = 2 \cdot \frac{-1 \pm \sqrt{31}}{3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{31}}{3}

Drugi slučaj: $x = 5y .$ Zamenićemo ovo u sređenu drugu jednačinu:

(5y)^2 - (5y)y + y^2 + 4y - 5y - 10 = 0

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $y :$

25y^2 - 5y^2 + y^2 - y - 10 = 0

Što se svodi na:

21y^2 - y - 10 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

y_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-10)}}{2 \cdot 21} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 840}}{42} = \frac{1 \pm \sqrt{841}}{42}

Pošto je $\sqrt{841} = 29 ,$ dobijamo:

y_{3,4} = \frac{1 \pm 29}{42}

Rešenja za $y$ su:

y_3 = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}, \quad y_4 = \frac{-28}{42} = -\frac{2}{3}

Za ove vrednosti $y$ računamo odgovarajuće vrednosti $x$ koristeći $x = 5y :$

x_3 = 5 \cdot \frac{5}{7} = \frac{25}{7}, \quad x_4 = 5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{10}{3}

Konačan skup rešenja sistema je:

(x, y) \in \left\{ \left(\frac{-2 - 2\sqrt{31}}{3}, \frac{-1 - \sqrt{31}}{3}\right), \left(\frac{-2 + 2\sqrt{31}}{3}, \frac{-1 + \sqrt{31}}{3}\right), \left(\frac{25}{7}, \frac{5}{7}\right), \left(-\frac{10}{3}, -\frac{2}{3}\right) \right\}

332.b