1817. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Da bismo sistem sveli na homogenu jednačinu, pomnožićemo prvu jednačinu sa 7, a drugu sa 19, kako bismo izjednačili slobodne članove.

\begin{cases} 7x^2 + 7xy + 7y^2 = 133 \\ 19x^2 - 19xy + 19y^2 = 133 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo homogenu jednačinu drugog stepena.

-12x^2 + 26xy - 12y^2 = 0

Podelimo dobijenu jednačinu sa -2.

6x^2 - 13xy + 6y^2 = 0

Pošto $y = 0$ nije rešenje sistema (jer bi tada važilo $x^2 = 19$ i $x^2 = 7 ,$ što je nemoguće), možemo podeliti jednačinu sa $y^2 .$

6\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 13\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0

Uvodimo smenu $t = \frac{x}{y} .$

6t^2 - 13t + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t_1 = \frac{3}{2} .$

\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y

Zamenjujemo $x$ u drugu jednačinu početnog sistema $x^2 - xy + y^2 = 7 .$

\left(\frac{3}{2}y\right)^2 - \left(\frac{3}{2}y\right)y + y^2 = 7

Sređujemo jednačinu po $y .$

\frac{9}{4}y^2 - \frac{6}{4}y^2 + \frac{4}{4}y^2 = 7 \implies \frac{7}{4}y^2 = 7

Rešavamo jednačinu po $y .$

y^2 = 4 \implies y_1 = 2, \quad y_2 = -2

Računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći vezu $x = \frac{3}{2}y .$

x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3, \quad x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t_2 = \frac{2}{3} .$

\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y

Zamenjujemo $x$ u drugu jednačinu početnog sistema $x^2 - xy + y^2 = 7 .$

\left(\frac{2}{3}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}y\right)y + y^2 = 7

Sređujemo jednačinu po $y .$

\frac{4}{9}y^2 - \frac{6}{9}y^2 + \frac{9}{9}y^2 = 7 \implies \frac{7}{9}y^2 = 7

Rešavamo jednačinu po $y .$

y^2 = 9 \implies y_3 = 3, \quad y_4 = -3

Računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći vezu $x = \frac{2}{3}y .$

x_3 = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2, \quad x_4 = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x, y) \in \{(3, 2), (-3, -2), (2, 3), (-2, -3)\}

333.a