1817.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina koje se svode na homogene (zadaci 333-334):

{x2+xy+y2=19x2−xy+y2=7\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo sistem sveli na homogenu jednačinu, pomnožićemo prvu jednačinu sa 7, a drugu sa 19, kako bismo izjednačili slobodne članove.

{7x2+7xy+7y2=13319x2−19xy+19y2=133\begin{cases} 7x^2 + 7xy + 7y^2 = 133 \\ 19x^2 - 19xy + 19y^2 = 133 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo homogenu jednačinu drugog stepena.

−12x2+26xy−12y2=0-12x^2 + 26xy - 12y^2 = 0

Podelimo dobijenu jednačinu sa -2.

6x2−13xy+6y2=06x^2 - 13xy + 6y^2 = 0

Pošto y=0 y = 0 nije rešenje sistema (jer bi tada važilo x2=19 x^2 = 19 i x2=7, x^2 = 7 , što je nemoguće), možemo podeliti jednačinu sa y2. y^2 .

6(xy)2−13(xy)+6=06\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 13\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0

Uvodimo smenu t=xy. t = \frac{x}{y} .

6t2−13t+6=06t^2 - 13t + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=13±(−13)2−4⋅6⋅62⋅6=13±169−14412=13±512t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=1812=32,t2=812=23t_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Vraćamo smenu za prvi slučaj t1=32. t_1 = \frac{3}{2} .

xy=32  ⟹  x=32y\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y

Zamenjujemo x x u drugu jednačinu početnog sistema x2−xy+y2=7. x^2 - xy + y^2 = 7 .

(32y)2−(32y)y+y2=7\left(\frac{3}{2}y\right)^2 - \left(\frac{3}{2}y\right)y + y^2 = 7

Sređujemo jednačinu po y. y .

94y2−64y2+44y2=7  ⟹  74y2=7\frac{9}{4}y^2 - \frac{6}{4}y^2 + \frac{4}{4}y^2 = 7 \implies \frac{7}{4}y^2 = 7

Rešavamo jednačinu po y. y .

y2=4  ⟹  y1=2,y2=−2y^2 = 4 \implies y_1 = 2, \quad y_2 = -2

Računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći vezu x=32y. x = \frac{3}{2}y .

x1=32⋅2=3,x2=32⋅(−2)=−3x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3, \quad x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3

Vraćamo smenu za drugi slučaj t2=23. t_2 = \frac{2}{3} .

xy=23  ⟹  x=23y\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y

Zamenjujemo x x u drugu jednačinu početnog sistema x2−xy+y2=7. x^2 - xy + y^2 = 7 .

(23y)2−(23y)y+y2=7\left(\frac{2}{3}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}y\right)y + y^2 = 7

Sređujemo jednačinu po y. y .

49y2−69y2+99y2=7  ⟹  79y2=7\frac{4}{9}y^2 - \frac{6}{9}y^2 + \frac{9}{9}y^2 = 7 \implies \frac{7}{9}y^2 = 7

Rešavamo jednačinu po y. y .

y2=9  ⟹  y3=3,y4=−3y^2 = 9 \implies y_3 = 3, \quad y_4 = -3

Računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći vezu x=23y. x = \frac{2}{3}y .

x3=23⋅3=2,x4=23⋅(−3)=−2x_3 = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2, \quad x_4 = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x,y)∈{(3,2),(−3,−2),(2,3),(−2,−3)}(x, y) \in \{(3, 2), (-3, -2), (2, 3), (-2, -3)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti