Sistem koji se svodi na homogeni: 2 i -5

Da bismo sistem sveli na homogenu jednačinu, potrebno je da eliminišemo slobodne članove na desnoj strani. Pomnožićemo prvu jednačinu sa $5 ,$ a drugu sa $2 .$

\begin{cases} 5x^2 - 15xy + 20y^2 = 10 \\ -6x^2 + 2xy + 10y^2 = -10 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo homogenu jednačinu drugog stepena:

(5x^2 - 15xy + 20y^2) + (-6x^2 + 2xy + 10y^2) = 10 - 10

Sređivanjem izraza dobijamo:

-x^2 - 13xy + 30y^2 = 0

Množenjem sa $-1$ dobijamo standardni oblik:

x^2 + 13xy - 30y^2 = 0

Pošto $y = 0$ nije rešenje sistema (jer bi tada iz prve jednačine sledilo $x^2 = 2 ,$ a iz druge $-3x^2 = -5 ,$ što je kontradikcija), možemo podeliti jednačinu sa $y^2$ i uvesti smenu $t = \frac{x}{y} ,$ odnosno $x = ty .$

\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 13\left(\frac{x}{y}\right) - 30 = 0 \implies t^2 + 13t - 30 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2} = \frac{-13 \pm 17}{2}

Rešenja za $t$ su:

t_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{-30}{2} = -15

Prvi slučaj: $t = 2 ,$ što znači da je $x = 2y .$ Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu originalnog sistema:

(2y)^2 - 3(2y)y + 4y^2 = 2

Sređujemo jednačinu po $y :$

4y^2 - 6y^2 + 4y^2 = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1

Rešenja za $y$ u prvom slučaju su $y = 1$ i $y = -1 .$ Računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći $x = 2y :$

\begin{cases} y_1 = 1 \implies x_1 = 2 \\ y_2 = -1 \implies x_2 = -2 \end{cases}

Drugi slučaj: $t = -15 ,$ što znači da je $x = -15y .$ Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu originalnog sistema:

(-15y)^2 - 3(-15y)y + 4y^2 = 2

Sređujemo jednačinu po $y :$

225y^2 + 45y^2 + 4y^2 = 2 \implies 274y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{137}

Rešenja za $y$ u drugom slučaju dobijamo korenovanjem i racionalizacijom. Zatim računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći $x = -15y :$

\begin{cases} y_3 = \frac{\sqrt{137}}{137} \implies x_3 = -\frac{15\sqrt{137}}{137} \\ y_4 = -\frac{\sqrt{137}}{137} \implies x_4 = \frac{15\sqrt{137}}{137} \end{cases}

Konačan skup rešenja sistema je:

(x, y) \in \left\{ (2, 1), (-2, -1), \left(-\frac{15\sqrt{137}}{137}, \frac{\sqrt{137}}{137}\right), \left(\frac{15\sqrt{137}}{137}, -\frac{\sqrt{137}}{137}\right) \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

334

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci