1829. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Zadat je sistem jednačina:

\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 300 \\ 2x^2 - xy - y^2 = 500 \end{cases}

Da bismo sistem sveli na homogenu jednačinu, potrebno je da izjednačimo slobodne članove. Pomnožićemo prvu jednačinu sa $5 ,$ a drugu sa $3 :$

\begin{cases} 5(x^2 - xy + y^2) = 1500 \\ 3(2x^2 - xy - y^2) = 1500 \end{cases}

Sada možemo izjednačiti leve strane ovih jednačina:

5x^2 - 5xy + 5y^2 = 6x^2 - 3xy - 3y^2

Prebacivanjem svih članova na jednu stranu dobijamo homogenu jednačinu drugog stepena:

x^2 + 2xy - 8y^2 = 0

Proverom vidimo da $y = 0$ nije rešenje sistema (jer bi tada iz prve jednačine sledilo $x^2 = 300 ,$ a iz druge $2x^2 = 500 ,$ što je nemoguće). Zato možemo podeliti jednačinu sa $y^2$ i uvesti smenu $t = \frac{x}{y} :$

\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 2\left(\frac{x}{y}\right) - 8 = 0 \implies t^2 + 2t - 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 2, \quad t_2 = -4

Vraćamo smenu $t = \frac{x}{y} ,$ što nam daje dva slučaja:

x = 2y \quad \text{ili} \quad x = -4y

**Prvi slučaj:** $x = 2y .$ Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu početnog sistema:

(2y)^2 - (2y)y + y^2 = 300

Sređujemo jednačinu i računamo $y :$

4y^2 - 2y^2 + y^2 = 300 \implies 3y^2 = 300 \implies y^2 = 100 \implies y = \pm 10

Za $y = 10$ dobijamo $x = 20 .$ Za $y = -10$ dobijamo $x = -20 .$ Prva dva rešenja sistema su:

(x_1, y_1) = (20, 10), \quad (x_2, y_2) = (-20, -10)

**Drugi slučaj:** $x = -4y .$ Zamenjujemo u prvu jednačinu:

(-4y)^2 - (-4y)y + y^2 = 300

Sređujemo jednačinu i računamo $y :$

16y^2 + 4y^2 + y^2 = 300 \implies 21y^2 = 300 \implies y^2 = \frac{300}{21} = \frac{100}{7}

Korenujemo da bismo našli $y$ i racionališemo imenilac:

y = \pm \frac{10}{\sqrt{7}} = \pm \frac{10\sqrt{7}}{7}

Za $y = \frac{10\sqrt{7}}{7}$ dobijamo $x = -4 \cdot \frac{10\sqrt{7}}{7} = -\frac{40\sqrt{7}}{7} .$ Za $y = -\frac{10\sqrt{7}}{7}$ dobijamo $x = \frac{40\sqrt{7}}{7} .$ Druga dva rešenja su:

(x_3, y_3) = \left(-\frac{40\sqrt{7}}{7}, \frac{10\sqrt{7}}{7}\right), \quad (x_4, y_4) = \left(\frac{40\sqrt{7}}{7}, -\frac{10\sqrt{7}}{7}\right)

Konačan skup rešenja sistema je:

\left\{ (20, 10), (-20, -10), \left(-\frac{40\sqrt{7}}{7}, \frac{10\sqrt{7}}{7}\right), \left(\frac{40\sqrt{7}}{7}, -\frac{10\sqrt{7}}{7}\right) \right\}

333.v