1828.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina u skupu realnih brojeva (zadaci 335-347): x2+xy+y2=19(x−y)2, x^2 + xy + y^2 = 19(x - y)^2 , x2−xy+y2=7(x−y). x^2 - xy + y^2 = 7(x - y) .

{x2+xy+y2=19(x−y)2x2−xy+y2=7(x−y)\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19(x - y)^2 \\ x^2 - xy + y^2 = 7(x - y) \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Posmatramo prvu jednačinu sistema. Kvadriramo izraz na desnoj strani i prebacimo sve članove na levu stranu.

x2+xy+y2=19(x2−2xy+y2)x2+xy+y2=19x2−38xy+19y218x2−39xy+18y2=0\begin{aligned} x^2 + xy + y^2 &= 19(x^2 - 2xy + y^2) \\ x^2 + xy + y^2 &= 19x^2 - 38xy + 19y^2 \\ 18x^2 - 39xy + 18y^2 &= 0 \end{aligned}

Podelimo dobijenu jednačinu sa $3$.

6x2−13xy+6y2=06x^2 - 13xy + 6y^2 = 0

Dobili smo homogenu kvadratnu jednačinu. Ako je y=0, y = 0 , iz jednačine sledi da je i x=0. x = 0 . Proverom u drugoj jednačini vidimo da je (0,0) (0, 0) jedno rešenje sistema. Za y≠0, y \neq 0 , podelimo jednačinu sa y2 y^2 i uvedemo smenu t=xy. t = \frac{x}{y} .

6t2−13t+6=06t^2 - 13t + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=13±(−13)2−4⋅6⋅62⋅6=13±169−14412=13±512t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=1812=32,t2=812=23t_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Razmatramo prvi slučaj kada je t=32, t = \frac{3}{2} , odnosno x=32y. x = \frac{3}{2}y . Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema.

(32y)2−(32y)y+y2=7(32y−y)94y2−32y2+y2=7⋅12y74y2=72y\begin{aligned} \left(\frac{3}{2}y\right)^2 - \left(\frac{3}{2}y\right)y + y^2 &= 7\left(\frac{3}{2}y - y\right) \\ \frac{9}{4}y^2 - \frac{3}{2}y^2 + y^2 &= 7 \cdot \frac{1}{2}y \\ \frac{7}{4}y^2 &= \frac{7}{2}y \end{aligned}

Sređujemo jednačinu po y. y .

74y2−72y=074y(y−2)=0\begin{aligned} \frac{7}{4}y^2 - \frac{7}{2}y &= 0 \\ \frac{7}{4}y(y - 2) &= 0 \end{aligned}

Rešenja ove jednačine su y=0 y = 0 i y=2. y = 2 . Za y=0 y = 0 dobijamo x=0, x = 0 , što je već poznato rešenje. Za y=2 y = 2 računamo x. x .

x=32⋅2=3x = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3

Razmatramo drugi slučaj kada je t=23, t = \frac{2}{3} , odnosno x=23y. x = \frac{2}{3}y . Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema.

(23y)2−(23y)y+y2=7(23y−y)49y2−23y2+y2=7⋅(−13y)79y2=−73y\begin{aligned} \left(\frac{2}{3}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}y\right)y + y^2 &= 7\left(\frac{2}{3}y - y\right) \\ \frac{4}{9}y^2 - \frac{2}{3}y^2 + y^2 &= 7 \cdot \left(-\frac{1}{3}y\right) \\ \frac{7}{9}y^2 &= -\frac{7}{3}y \end{aligned}

Sređujemo jednačinu po y. y .

79y2+73y=079y(y+3)=0\begin{aligned} \frac{7}{9}y^2 + \frac{7}{3}y &= 0 \\ \frac{7}{9}y(y + 3) &= 0 \end{aligned}

Rešenja ove jednačine su y=0 y = 0 i y=−3. y = -3 . Za y=0 y = 0 dobijamo x=0. x = 0 . Za y=−3 y = -3 računamo x. x .

x=23⋅(−3)=−2x = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x,y)∈{(0,0),(3,2),(−2,−3)}(x, y) \in \{(0, 0), (3, 2), (-2, -3)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti