1829.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina koje se svode na homogene (zadaci 333-334): x2−xy+y2=300, x^2 - xy + y^2 = 300 , 2x2−xy−y2=500 2x^2 - xy - y^2 = 500 ;

REŠENJE ZADATKA

Zadat je sistem jednačina:

{x2−xy+y2=3002x2−xy−y2=500\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 300 \\ 2x^2 - xy - y^2 = 500 \end{cases}

Da bismo sistem sveli na homogenu jednačinu, potrebno je da izjednačimo slobodne članove. Pomnožićemo prvu jednačinu sa 5, 5 , a drugu sa 3: 3 :

{5(x2−xy+y2)=15003(2x2−xy−y2)=1500\begin{cases} 5(x^2 - xy + y^2) = 1500 \\ 3(2x^2 - xy - y^2) = 1500 \end{cases}

Sada možemo izjednačiti leve strane ovih jednačina:

5x2−5xy+5y2=6x2−3xy−3y25x^2 - 5xy + 5y^2 = 6x^2 - 3xy - 3y^2

Prebacivanjem svih članova na jednu stranu dobijamo homogenu jednačinu drugog stepena:

x2+2xy−8y2=0x^2 + 2xy - 8y^2 = 0

Proverom vidimo da y=0 y = 0 nije rešenje sistema (jer bi tada iz prve jednačine sledilo x2=300, x^2 = 300 , a iz druge 2x2=500, 2x^2 = 500 , što je nemoguće). Zato možemo podeliti jednačinu sa y2 y^2 i uvesti smenu t=xy: t = \frac{x}{y} :

(xy)2+2(xy)−8=0  ⟹  t2+2t−8=0\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 2\left(\frac{x}{y}\right) - 8 = 0 \implies t^2 + 2t - 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−2±22−4⋅1⋅(−8)2=−2±4+322=−2±62t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=2,t2=−4t_1 = 2, \quad t_2 = -4

Vraćamo smenu t=xy, t = \frac{x}{y} , što nam daje dva slučaja:

x=2yilix=−4yx = 2y \quad \text{ili} \quad x = -4y

**Prvi slučaj:** x=2y. x = 2y . Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu početnog sistema:

(2y)2−(2y)y+y2=300(2y)^2 - (2y)y + y^2 = 300

Sređujemo jednačinu i računamo y: y :

4y2−2y2+y2=300  ⟹  3y2=300  ⟹  y2=100  ⟹  y=±104y^2 - 2y^2 + y^2 = 300 \implies 3y^2 = 300 \implies y^2 = 100 \implies y = \pm 10

Za y=10 y = 10 dobijamo x=20. x = 20 . Za y=−10 y = -10 dobijamo x=−20. x = -20 . Prva dva rešenja sistema su:

(x1,y1)=(20,10),(x2,y2)=(−20,−10)(x_1, y_1) = (20, 10), \quad (x_2, y_2) = (-20, -10)

**Drugi slučaj:** x=−4y. x = -4y . Zamenjujemo u prvu jednačinu:

(−4y)2−(−4y)y+y2=300(-4y)^2 - (-4y)y + y^2 = 300

Sređujemo jednačinu i računamo y: y :

16y2+4y2+y2=300  ⟹  21y2=300  ⟹  y2=30021=100716y^2 + 4y^2 + y^2 = 300 \implies 21y^2 = 300 \implies y^2 = \frac{300}{21} = \frac{100}{7}

Korenujemo da bismo našli y y i racionališemo imenilac:

y=±107=±1077y = \pm \frac{10}{\sqrt{7}} = \pm \frac{10\sqrt{7}}{7}

Za y=1077 y = \frac{10\sqrt{7}}{7} dobijamo x=−4⋅1077=−4077. x = -4 \cdot \frac{10\sqrt{7}}{7} = -\frac{40\sqrt{7}}{7} . Za y=−1077 y = -\frac{10\sqrt{7}}{7} dobijamo x=4077. x = \frac{40\sqrt{7}}{7} . Druga dva rešenja su:

(x3,y3)=(−4077,1077),(x4,y4)=(4077,−1077)(x_3, y_3) = \left(-\frac{40\sqrt{7}}{7}, \frac{10\sqrt{7}}{7}\right), \quad (x_4, y_4) = \left(\frac{40\sqrt{7}}{7}, -\frac{10\sqrt{7}}{7}\right)

Konačan skup rešenja sistema je:

{(20,10),(−20,−10),(−4077,1077),(4077,−1077)}\left\{ (20, 10), (-20, -10), \left(-\frac{40\sqrt{7}}{7}, \frac{10\sqrt{7}}{7}\right), \left(\frac{40\sqrt{7}}{7}, -\frac{10\sqrt{7}}{7}\right) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti