1830. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz druge jednačine sistema vidimo da je proizvod dva izraza jednak nuli. To znači da bar jedan od činilaca mora biti jednak nuli:

x - 2 = 0 \quad \lor \quad y - 1 = 0

Razmotrićemo prvi slučaj, kada je prva zagrada jednaka nuli:

x - 2 = 0 \implies x = 2

Zamenjujemo $x = 2$ u prvu jednačinu sistema:

2(2)^2 - 3(2)y + 5y = 5

Sređujemo jednačinu i računamo vrednost za $y :$

8 - 6y + 5y = 5 \implies 8 - y = 5 \implies y = 3

Prvo rešenje sistema je uređeni par:

(x_1, y_1) = (2, 3)

Sada razmatramo drugi slučaj, kada je druga zagrada jednaka nuli:

y - 1 = 0 \implies y = 1

Zamenjujemo $y = 1$ u prvu jednačinu sistema:

2x^2 - 3x(1) + 5(1) = 5

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 3x + 5 = 5 \implies 2x^2 - 3x = 0

Faktorišemo izraz izvlačenjem $x$ ispred zagrade:

x(2x - 3) = 0

Odavde dobijamo dva moguća rešenja za $x :$

x = 0 \quad \lor \quad 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}

Ovo nam daje još dva rešenja sistema:

(x_2, y_2) = (0, 1), \quad (x_3, y_3) = \left(\frac{3}{2}, 1\right)

Konačan skup rešenja sistema je:

\mathcal{R} = \left\{ (2, 3), (0, 1), \left(\frac{3}{2}, 1\right) \right\}

1830.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate