Sistem simetričnih jednačina: desne strane 8 i 7

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:

(x + y + x^2 + y^2) - (xy + x^2 + y^2) = 8 - 7

Sređivanjem dobijene jednačine imamo:

x + y - xy = 1

Prebacivanjem svih članova na levu stranu i faktorisanjem dobijamo:

\begin{aligned} x + y - xy - 1 &= 0 \\ x(1 - y) - (1 - y) &= 0 \\ (x - 1)(1 - y) &= 0 \end{aligned}

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Razlikujemo dva slučaja:

x - 1 = 0 \quad \lor \quad 1 - y = 0

Prvi slučaj: $x = 1 .$ Zamenom u drugu jednačinu sistema dobijamo:

\begin{aligned} 1 \cdot y + 1^2 + y^2 &= 7 \\ y^2 + y - 6 &= 0 \end{aligned}

Rešavanjem kvadratne jednačine po $y$ dobijamo:

y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Rešenja za prvi slučaj su:

y_1 = -3, \quad y_2 = 2

Drugi slučaj: $y = 1 .$ Zamenom u drugu jednačinu sistema dobijamo:

\begin{aligned} x \cdot 1 + x^2 + 1^2 &= 7 \\ x^2 + x - 6 &= 0 \end{aligned}

Rešavanjem kvadratne jednačine po $x$ dobijamo:

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Rešenja za drugi slučaj su:

x_1 = -3, \quad x_2 = 2

Konačan skup rešenja sistema je:

(x, y) \in \{(1, -3), (1, 2), (-3, 1), (2, 1)\}

341