1831.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina u skupu realnih brojeva (zadaci 335-347):

{x+y+x2+y2=8xy+x2+y2=7\begin{cases} x + y + x^2 + y^2 = 8 \\ xy + x^2 + y^2 = 7 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:

(x+y+x2+y2)−(xy+x2+y2)=8−7(x + y + x^2 + y^2) - (xy + x^2 + y^2) = 8 - 7

Sređivanjem dobijene jednačine imamo:

x+y−xy=1x + y - xy = 1

Prebacivanjem svih članova na levu stranu i faktorisanjem dobijamo:

x+y−xy−1=0x(1−y)−(1−y)=0(x−1)(1−y)=0\begin{aligned} x + y - xy - 1 &= 0 \\ x(1 - y) - (1 - y) &= 0 \\ (x - 1)(1 - y) &= 0 \end{aligned}

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Razlikujemo dva slučaja:

x−1=0∨1−y=0x - 1 = 0 \quad \lor \quad 1 - y = 0

Prvi slučaj: x=1. x = 1 . Zamenom u drugu jednačinu sistema dobijamo:

1⋅y+12+y2=7y2+y−6=0\begin{aligned} 1 \cdot y + 1^2 + y^2 &= 7 \\ y^2 + y - 6 &= 0 \end{aligned}

Rešavanjem kvadratne jednačine po y y dobijamo:

y1,2=−1±12−4⋅1⋅(−6)2=−1±52y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Rešenja za prvi slučaj su:

y1=−3,y2=2y_1 = -3, \quad y_2 = 2

Drugi slučaj: y=1. y = 1 . Zamenom u drugu jednačinu sistema dobijamo:

x⋅1+x2+12=7x2+x−6=0\begin{aligned} x \cdot 1 + x^2 + 1^2 &= 7 \\ x^2 + x - 6 &= 0 \end{aligned}

Rešavanjem kvadratne jednačine po x x dobijamo:

x1,2=−1±12−4⋅1⋅(−6)2=−1±52x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Rešenja za drugi slučaj su:

x1=−3,x2=2x_1 = -3, \quad x_2 = 2

Konačan skup rešenja sistema je:

(x,y)∈{(1,−3),(1,2),(−3,1),(2,1)}(x, y) \in \{(1, -3), (1, 2), (-3, 1), (2, 1)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti